2022北京中考数学压轴题

北京中考数学的新定义也是很有名的，今天笔者来带你看看今年的题目

先看看27题，还是比较简单的。第一问用8字全等得出BD与EF平行就过关。第二问证∠AEF=90°转到∠BHE=90°，用一下直角三角形斜边上的中线等于斜边一半也能过关。

第二问笔者的解题过程是这样的

或许有点夸张。但其实思路并不唬人。我们任取圆外一点P，显然P'的运动轨迹是以P为圆心，OM为半径的圆，且OM与PP'平行。这个当然可以严格证明，但没什么意思，也很容易想出来，就不多说了。然后作P'关于N的对称点。这个设计让笔者难受的在于这些点基本都在动，由于P，N较随机不定的位置使得笔者心里有点慌。笔者甚至差点作成P关于N对称得Q，还好发现了。

找到Q的轨迹是笔者认为的关键。这个图很有意思，我们把它抠出来看。

怎样，有没有觉得很像梯形中位线？确实是差不多的东西嘛，我们就来倍长PO补全图形.这样只要证出TQ和PP'或ON平行就万事大吉了，TQ的长度不是手到擒来。

在笔者前面写的一篇关于相对运动的文章写过怎么弄梯形中位线，这里有点不同，但构造的图形是一致的。

倍长P'O至R

就有RQ与ON平行。延长PO交RQ于S，PP'与RS平行，O为P'R中点，一对全等双手奉上，就有PO=OS，又因为PO=OT，所以T,S重合，即TQ与ON，PP'平行。这里的思想方法叫同一法。

笔者这里还有个神奇的方法。既然有平行线分线段成比例，那么有没有“不平行的线分线段不成比例”？那我们就用反证法，假设TQ与ON不平行，那么就没有PO:OT=P'N:NQ，矛盾，所以TQ与ON平行。好像有点道理，但绝对上不了台面。

不知道笔者有没有做繁琐。欢迎在评论区讨论。这里就当抛砖引玉。

那么题目到这里就差不多了。我们把这个模型放回原图。由于PP'=1，ON=t，易得TQ=2t-1

要弄PQ的最值，就要放到三角形里。这里虽然P是平面内圆外任意一点，但我们把P放在一个位置，那P就是不动的，即PT的值相对不变。不知道笔者表达清楚没有，这也是不能把PQ放在△PP'Q里的原因。

PT一定大于2，TQ大于0小于1，那么PQ最大为PT+TQ，最小为PT-TQ，二者差值为2TQ，即为4t-2。做完了

一键三连哟