数学物理方法公式（3）：δ函数

2023-03-18 18:40 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

$%5Cdelta(x)$ 函数的定义为：

（1）： $%5Cdelta(0)%3D%5Cinfty%2C%5C%20%5Cdelta(x%5Cneq0)%3D0.$

（2）： $%5Cint%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7D%5Cdelta(x)dx%3D1.$

性质有：

（1）： $%5Cint%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7Df(x)%5Cdelta(x)dx%3Df(0).$

（2）： $%5Cdelta(x)%3D%5Cdelta(-x).$

（3）： $%5Cdelta(x-a)*f(x)%3Df(x-a).$

（4）： $%5Cmathcal%7BF%7D%5C%7B%5Cdelta(x)%5C%7D%3D1%2C%5C%20%5Cdelta(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7De%5E%7Bi%5Comega%20x%7Dd%5Comega%2C%5C%20%5Cdelta(p-p%5E%7B%5Cprime%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B-%5Cinfty%7De%5E%7Bi(p-p%5E%7B%5Cprime%7D)x%7Ddx.$

常用的 $%5Cdelta(x)$ 函数的辅助函数有,

（1）： $%5Clim_%7B%5Cbeta%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%7B%5Crm%20sin%7D%5Cbeta%20x%7D%7B%5Cpi%20x%7D%3D%5Cdelta(x).$

（2）： $%5Clim_%7B%5Cbeta%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%5Cbeta%7D%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B(x-a)%5E2%7D%7B%5Cbeta%7D%7D%3D%5Cdelta(x-a).$

（3）： $%5Clim_%7B%5Cbeta%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B(x-a)%5E2%2B%5Cbeta%5E2%7D%3D%5Cdelta(x-a).$

（4）： $%5Clim_%7B%5Cbeta%5Cto0%7D%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B%5Cpi(x-a)%5E2%7D%7B%5Crm%20sin%7D%5E2%5Cfrac%7Bx-a%7D%7B%5Cbeta%7D%3D%5Cdelta(x-a).$

（5）： $%5Clim_%7B%5Cbeta%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cbeta%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B%7Cx-a%7C%7D%7B%5Cbeta%7D%7D%3D%5Cdelta(x-a).$

阶跃函数 $%5Ctheta(t-t_0)%3A%5C%20%5Ctheta(t%5Cge%20t_0)%3D1%2C%5C%20%5Ctheta(t%3Ct_0)%3D0.$

（6）： $%5Cfrac%7Bd%5Ctheta(t)%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdelta(t).$

（7）： $%5Clim_%7B%5Cbeta%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta%2Bi%5Comega%7D%3D%5Cpi%5Cdelta(%5Comega)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5Comega%7D.$

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