导函数、导数和原函数的一些记录

导函数、导数和原函数的一些记录

函数是两个数集间的映射关系：

 

上图的f就是映射关系，或者称之为函数关系式。

现在将数集A用自变量x表示：

 

这时，集合A是实数R组成的数集，用{x∈R}表示，在数集A中的任意的一个x数值，经过f(x)表达式的运算后，都能和数集B中的某一个y值进行一一对应。

比如，当函数表达式f(x)=x+1时：

 

这就是函数关系，f(x)在本文中称之为原函数。

 

函数如果用一个模板表示，就是这样：

 

(  定义域， 值域， 函数表达式f   )

 

在这里f(x)就是：

 

( 数集A ， 数集B， 函数表达式f(x)  )

 

导函数也是函数，它是对原函数f(x)进行求导之后得出的，用f’(x)表示。

(对函数f(x)如何求导不在本文之列)

 

当加入了导函数后，如图所示：

 

用数集C表示的导函数的值，即对数集A里的其中某一个值，经过导函数f’表达式运算后，都能和数集C中的某一个数值进行一一对应。

 

数集C中存放是导数，导数也是数值，导数是由导函数计算得出。

 

导数的含义就是切线斜率，变化率大，导数的绝对值就大，变化率小，导数的绝对值就小。

 常数不变化，所以导数是0。

现在将数集A用自变量x表示：

 

数集A为什么用x∈{函数定义域}表示呢？因为不同的函数定义域是不同的，比如反比例函数的定义域不能等于0，定义域可以理解为坐标轴中x点的坐标值

 

 

而数集B，即原函数f(x)的值，是值域，值域可以理解为坐标轴中y点的坐标值。

 

即集合A和集合B之间的关系，可以理解为：x坐标值经过不同的f(x)函数表达式运算后，得到的y坐标值，由于集合A中x坐标值有很多，所以也得到了很多的y坐标值，然后经过很多(x,y)这种点坐标表达，连接这些点，就变成了线，从而变成了函数的图象。

 

简单的说，是x坐标和y坐标之间的关系。

 

或者说，原函数f(x)可以用这样的组合表达：

 

( 点的x坐标值 --->  函数表达式f    --->   点的y坐标值 )

 

 

 

数集C和集合A的关系，是导函数的关系，

 

集合A中还是x点坐标值，经过f’(x)函数表达式运算后，得出不同数值，这些数值不再是y坐标值

但是因为导数也是数，所以数集C也是数集。不同的导函数f’(x)将得出不同的数值。

 

所以，如果知道了一些函数参数，求其他参数，就可以在理论上就有了思路：

 

 

例一：比如，已知x的坐标值为x0，求经过x0的斜率是多少（即导数多少）

 

第1步：经过f(x)表达式运算后，可以得出y坐标值

第2步：由原函数f(x)求导可以得出导函数f’(x)

第3步：将x=x0带入f’(x)中， 即f’(x0)，即可求出导数，导数就是斜率。

 

求出这些之后，又可以可出x=x0处的切线方程：

 

图中蓝色①②③，已知x、y和k后，就可以得出y-y0 = k(x-x0)切线方程。

 

 

 

 

例二：又比如，知道了原函数和切线方程，让求切点。

这时候切线方程里面x坐标值并不在原函数f(x)的定义域内：

 

首先函数三要素是：(  定义域， 值域， 函数表达式f   )

 

这里的切点，就是包含在原函数的定义域和值域中。

 

图中第1步：知道切线方程，就可以知道斜率k了，比如y=2x+1，斜率是2。斜率是导函数的值域。

图中第2步：由原函数f(x)的函数表达式，就可以知道导函数f’(x)的函数表达式，这样导函数的函数表达式f’ 就知道了。

 

那么剩下的定义域，就可以根据f’(x) = k，这一个方程就可以解出切点的x坐标值。

 

切点的y坐标值，又可根据原函数f(x) = y求出，继而就可以知道切点坐标了。

 

在这里的思路，是获取函数的三要素之中的两个，从而求出另外一个：

 

 

这里通过已知导函数的值域 和 函数表达式，从而求出定义域，

定义域又是和原函数相同的，再通过原函数的表达式，求出值域。

 

 

 

例三：比如，知道了原函数和切线方程，但切线方程的斜率k不知道，比如y=kx+1，让求切点。

 

这里的切点同样是包含在原函数的定义域和值域中，比如设为(x0,y0)，这是两个未知量，再加上切线方程的k，共三个未知量，所以需要三个方程：

 

从上到下分别是原函数、导函数、切线方程，由于切点都在这三个方程中，所以通过解这个方程组，即可求出切点。

 

思路如图：