证明：f（x）=A+α（无穷小）lim f（x）=A

牛顿309、证明：f（x）=A+α（无穷小）↔lim f（x）=A

2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。

…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

图片内容：

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

定理1：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…变、化、变化：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…充、分、充分：见《牛顿308》…

…必：见《欧几里得43》…

…要：见《欧几里得67》…

…必要（百度百科）：非这样不行；不可缺少的…

…条、件、条件：见《牛顿280》…

…充分必要条件（百度百科）：如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。

如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件（简称：充要条件），反之亦然…

（…命、题、命题：见《欧几里得70》…

…必、然、必然：见《欧几里得43》…）

…α：第1个希腊字母，中文音译：阿尔法…

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

 

（1）必要性：f（x）=A+α ← lim f（x）=A

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…]

 

证明：根据极限的定义，lim f（x）=A，即：∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，

有|f（x）-A|＜ε。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…根、据、根据：见《欧几里得115》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

∀是什么数学符号？——网友提问

 

2019-08-17，光阴的笔尖：

数学命题里常用的；

“任意”：∀；

“存在”：∃。

 

…

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…

 

……

定理1：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小。

 

（1）必要性：f（x）=A+α ← lim f（x）=A

 

证明：根据极限的定义，lim f（x）=A，即：∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）-A|＜ε。

令α=f（x）-A。

（此时不能说“α是无穷小”。

需要证明“α是无穷小”。）

 

那么|α|＜ε → |α-0|＜ε

根据极限的定义，得：lim α=0

根据无穷小的定义，得α是当x→x0时的无穷小。

 

由α=f（x）-A移项，可得：f（x）=A+α

 

（2）充分性：f（x）=A+α → lim f（x）=A

 

证明：设f（x）=A+α，其中A是常数，α是x→x0时的无穷小。

 

根据无穷小的定义，得：lim α=0

根据极限的定义，得：∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，有|α-0|＜ε。

因为：f（x）=A+α → α=f（x）-A

所以：|f（x）-A|＜ε

根据极限的定义，得：lim f（x）=A

“六朝（222年–589年）：一般是指中国历史上三国至隋朝的南方的六个朝代。即孙吴（或称东吴、三国吴）、东晋、南朝宋（或称刘宋）、南朝齐（或称萧齐）、南朝梁（或称萧梁）、南朝陈这六个朝代。又因六朝皆以建康（今南京）为京师，所以后世许多文献皆以六朝或南朝来代指南京，并常用南京来指明六朝时期的人事物，所以南京又称六朝古都。

六朝承汉启唐，创造了极其辉煌灿烂的“六朝文明”。

请看下集《牛顿310、大，六朝一般指中国历史上三国至隋朝的南方的六个朝代》”

 

若不知晓历史，便看不清未来

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