概率论与数理统计

第一章

第一节 随机事件

一、随机现象

1. 确定性

• 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象

2. 随机现象

• 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象

二、随机试验与样本空间

1. 随机试验

• 可以在相同的条件下重复地进行

• 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果

• 进行一次试验之前不能确定哪一个结果

• 在概率论中，把具有一下三个特征的试验称为随机试验

2. 样本空间、样本点

• 定义：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即试验E的每一个结果，称为样本点

三、随机事件的概念

1. 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次实验中它总是发生的，S称为必然事件

2. 空集Ø不包含任何点，它也作为样本空间的子集，它在每次实验中都不发生，Ø称为 不可能事件

3. 必然事件的对立面是不可能事件，不可能事件的对立面是必然事件，它们互称为对立事件

几点说明

1. 随机事件可简称为事件，并以大写英文字母A,B,C来表示事件

2. 随机试验、样本空间与随机事件的关系

3. 每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件

四、随机事件的关系与运算

设实验的样本空间为S。而

$$
A,B,A_K(K=1,...)
$$

是S的子集

1. 若A⊂B，则称事件A包含于事件B，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。

   若A⊂B且B⊂A，则 称事件A与事件B相等

2. 事件 A∪B={x|x∈A或x∈B}，称为事件A与事件B的和事件，当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A∪B发生

逆概公式：

1. 事件A∩B={x|x∈A且x∈B}，称为事件A与事件B的积事件，当且仅当A,B同时发生时事件A∩B发生，A∩B也记作AB。

A和B重叠部分

1. 事件A-B={x|x∈A且x∉B}，称为事件A与事件B的差事件，当且仅当A发生，B不发生时，A-B发生

1. 若 A∩B=Ø，则称事件A与事件B是互不相容，或互斥的，这指的是事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

   A的对立事件记为

   对立事件与互斥事件的区别

   设有n个事件

   $$
   A_1,A_2,...,A_n
   $$

   
   

   如果其满足：

• 交换律

  $$
  A∪B=B∪A; A∩B=B∩A
  $$

  
  

• 结合律

  $$
  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
  $$

  
  

• 分配律

  $$
  A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
  $$

  
  

• 德摩根率

  
  

  
  

  
  

• $$
  A_iA_j=\Phi(i≠j,i，j=1,2,...,n)
  $$

  
  

• 则称

  $$
  A_1,A_2,...,A_n
  $$

  
  

  构成互不相容的完备事件组

  事件间的运算规律，设A,B,C为事件，则有

1. 互不相容的完备事件组

2. 若A∪B=S且A∩B=Ø，则称事件A与事件B互不相容事件，又称事件A与事件B互为逆事件

第二节 概率

一、频率

1. 频率的定义

• 在相同条件下，进行了n次2试验，在这n次试验中，事件A发生的次数

  $$
  n_A
  $$

  
  

  称为事件A发生的频数

  比值

  $$
  n_A/n
  $$

  
  

  称为事件A发生的频率，记作

  $$
  f_n(A)
  $$

  
  

  $$
  f_n(A)=n_A/n
  $$

  
  

2. 频率的性质

   设A是随机试验E的任一事件，则

• $$
  0\leq f_n(A)\leq1
  $$

  
  

• $$
  f_n(S)=1
  $$

  
  

3. 若

   $$
   A_1,A_2,...,A_K
   $$

   
   

   是两两互不相容的事件，则

   $$
   f_n(A_1∪A_2∪···∪A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+···+f_n(A_k)
   $$

   
   

   $$
   \because AB= \Phi
   $$

   
   

   若A∪B发生，即A或B其中之一发生，但A与B不同时发生

   所以

   $$
   n_{A∪B} = n_A + n_B
   $$

   
   

   得

   $$
   f_n(A∪B)=\frac{n_{AB}}{n}=\frac {n_A}{n}+ \frac {n_B}{n}=f_n(A)+f_n(B)
   $$

   
   

二、古典概型

1. 古典概型定义

若随机试验满足下述两个条件

• 样本空间S只包含有限个样本点

• 每个样本点（基本事件）出现得可能性相同

称这种试验为古典概型

1. 概率的古典定义

   定义：设试验E的样本空间S包含n个基本事件，事件A包含k个基本事件，则有

   $$
   P(A) = \frac kn= \frac{A包含的基本事件}{S中基本事件的总数}
   $$

   
   

   该式称为随机事件A的概率，记作P(A)

2. 解决古典概型问题的步骤如下：

• 分析题目是否满足古典概型的条件即“样本空间有限和等可能性”两个条件

• 计算出样本空间所包含的所有基本事件的总数n

• 计算出事件A包含的基本事件个数k

• 代入公式

  $$
  P(A) = \frac kn
  $$

  
  

  计算概率

  排列组合是计算古典概率的有力工具

三、概率的定义和性质

定义：设E为随机试验，S为E的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)，称为事件A发生的概率，其中集合函数P()满足以下条件：

• 对于任意的事件A，

  $$
  P(A) \geq 0
  $$

  
  

• $$
  P(S) =1
  $$

  
  

• 对于任意两两互不相容的事件

  $$
  A_1,A_2,...,P(A_1\cup A_2 \CUP ···)=P(A_1)_ P(A_2)+···\\ A_iA_j=\Phi,i\neq j
  $$

  
  

概率的性质

• $$
  P(\Phi)=0，即：不可能事件发生的概率为0
  $$

  
  

• 有限可加性

  $$
  若A_iA_j= \Phi  （i \neq j,i,j=1,2,...n),则 \\ P(A_1 \cup ··· \cup  A_n)=P(A_1)+P(A_2)+···+P(A_n)
  $$

  
  

  不交的有限个集合的总面积 = 各个集合面积相加

推论1：对于任意的事件A和B，有

$$
P(A)=P(AB)+P(A \bar{B})
$$

推论2：：若

$$
B_1,B_2,···，B_n是样本空间S的一个划分，即B_1 \cup B_2 \cup B_n=S且B_iB_j= \Phi (i \neq j)，则 \\\\ P(A) = P(AB_1)+P(AB_2)+···+P(AB_n) \\ \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \\\\ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
$$

推论3：

$$
P(B-A) = P(B)-P(AB)
$$

推论4：对于任意事件A，有

$$
P(A) \leq 1
$$

推论5：

$$
P(\bar A )=1-P(A)
$$

第三节 条件概率

一、条件概率与乘法公式

定义：

$$
设A、B是任何两个事件，P(A)>0，则称 \frac {P(AB)}{P(A)}为A发生的条件下，B发生的条件概率，记作\\\\ P(B \mid A)=\frac {P(AB)}{P(A)}\\\\ P(B \mid A)就是在A发生前提条件下， \\ 计算B发生的概率
$$

乘法公式

$$
定理：设P(A) >0，则P(AB)=P(A)P(B \mid A) \\ 注1：设P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A\mid B) \\ 多个乘积情形 设P(A_1A_2···A_n)>0，则\\ P(A_1A_2···A_n)=P(A_1A_2···A_{n-1})P(A_n\mid A_1···A_{n-1} ) \\ =P(A_1)P(A_2 \mid A_1)···P(A_{n-1} \mid A_1···A_{n-2})P(A_n \mid A_1···A_{n-1})
$$

二、全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式：

A_1,A_2,...,A_n为互不相容的完备事件组（分割），且P(A_i) > 0，i=1,2,...,n.B= BA_1 \cup BA_2 \cup......\cup BA_n,则P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+...+P(A_n)P(B\mid A_n)

贝叶斯公式：

设B_1,B_2,...,B_n为样本空间E的一个划分，P(B_j)>0，且P(A\mid B_j)，则P(B_i\mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A\mid B_j)}

方法：全概率公式+乘法公式

第四节 事件的独立性

一、事件的独立性

定义：若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B相互独立。

结论：若事件A和B相互独立，则A与\bar B，\bar A与B，\bar A与\bar B也相互独立

定义：若事件A_1,A_2,...,A_n满足条件P(A_{i1}A_{i2}...A_{ik})=P(A_{i1})P(A_{i2})...P(A_{ik})(k-1,...,n)

称事件A_1,A_2,...,A_n相互独立。

二、n重伯努利试验

n重伯努利试验：各次试验是独立的，每次试验只有两个结果A和\bar A

这种试验的概率模型叫做伯努利概型

设P(A)=p，则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率是P_n(k)=C_n^k(1-p)^{n-k},K=0,1,...,n

注意：与人数、个数、次数等计数有关的概率问题往往是伯努利概型

本章小结

本章是概率论最基础的部分，所有内容围绕随机事件和概率两个概念展开。本章的重点内容包括：随机事件的关系与运算，概率的基本性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。本章的基本内容及要求如下：

1. 理解随机现象、随机试验和随机事件的概念，掌握事件的四种运算：事件的并、事件的交、事件的差和事件的余。掌握事件的四个运算法则：交换律、结合律、分配律和对偶律，理解事件的四种关系：包含关系、相等关系、对立关系和互不相容关系。

2. 了解古典概型的定义，会计算简单的古典概型中的相关概率。

3. 理解概率的定义，理解概率与频率的关系，掌握概率的基本性质：

• 0<p(A)<1,P(\Omega)=1,p(\Phi)=0

• P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)，特别地，当A与B互不相容时，P(A\cup B)=P(A)+P(B)

• P(A-B)=P(A)-P(B)

• P(\bar A)=1-P(A)

  会用这些性质进行概率的基本运算

1. 理解条件概率的概念：

   $$
   P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
   $$

   
   

   掌握乘法公式：

   $$
   P(AB)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B),P(A)>0
   $$

   
   

   会用条件概率公式和乘法公式进行概念计算

1. 掌握全概率公式和贝叶斯公式，会用它们计算较简单的相关问题

2. 理解事件独立性的定义及充分必要条件，理解事件间关系相互独立、互不相容与相互独立三者的联系与区别

   有一点需注意，就是利用概率的基本性质、条件概率、乘法公式以及事件独立性计算概率，它们的综合使用略显复杂，但其间有一个重要的角色P(AB)，几乎把它们联系在一起，P(AB)是求解概率的关键。

1. 理解n重伯努利试验的定义，掌握伯努利概率的重要计算公式：

   $$
   P_n(k)=C_n^kP^k(1-P)^{n-k},k=0,1,...,n.其中P(A)=p
   $$