……

2022-03-25 22:14 作者:小北海龙王挖矿 0人读过 | 我要投稿

【[初中数学]角平分线定理的证明及使用，解中考问题大有用处-哔哩哔哩】https://b23.tv/LNmIuY8

角平分线定理还可以用向量的方法证明（与视频中的图相同）（参见markdown语法），如下

取 $A$ 为原点

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%3D%5Cvec%7Bb%7D%20%2C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%20%3D%5Cvec%7Bc%7D%20$

$%5Cangle%20A$ 的平分线AD的方程为 $%5Cvec%7Bd%7D%20%3Dt%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bb%7D%20%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bc%7D%20%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%5Cright)%20%20%5Ctag%7B1%7D$

因B、C、D在同一条直线上，所以

$%5Cvec%7Bd%7D%20%2B%5Clambda%20%5Cvec%7Bb%7D%20%2B%5Cmu%20%5Cvec%7Bc%7D%20%3D0%20%5Ctag%7B2%7D$

$%5Clambda%20%2B%5Cmu%20%2B1%3D0%20%5Ctag%7B3%7D$

将（1）代入（2） $%5Ctherefore%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cvec%7Bb%7D%20%7D%20%2B%5Clambda%20%5Cright)%20%20%2B%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%2B%5Cmu%20%5Cright)%20%20%3D0%20%5Ctag%7B4%7D$

因为 $AB%5Cnparallel%20AC$

所以 $%5Cvec%20b$ 、 $%5Cvec%20c$ 线性无关

$%5Ctherefore%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%2B%5Clambda%20%3D0%2C%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%2B%5Cmu%20%3D0$

$%5Clambda%20%3D-%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%2C%5Cmu%20%3D-%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D$

代入（3），有

$t%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%7B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%2B%5Cleft%5Cvert%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%5Cvert%20%20%7D%20%5Ctag%7B5%7D$

把（5）代入（1）有

$%5Cvec%7Bd%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%2B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bb%7D%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bc%7D%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%5Cright)%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%2B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%5Cleft(%20%5Cvec%7Bd%7D%20%2B%5Coverrightarrow%7BDB%7D%20%5Cright)%20%20%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%2B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%5Cleft(%20%5Cvec%7Bd%7D%20%2B%5Coverrightarrow%7BDC%7D%20%5Cright)%20%20%3D%5Cvec%7Bd%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BDB%7D%20%2B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BDC%7D%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%2B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20$

$%5Ctherefore%20%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BDB%7D%20%2B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BDC%7D%20%3D0$

$%5Ctherefore%20%5Cfrac%7BAB%7D%7BAC%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bb%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Bc%7D%20%5Cright%7C%20%20%7D%20%3D%5Cfrac%7BBD%7D%7BDC%7D%20$

本专栏：2022年3月25日初版，2022年7月11日重排

（作者说，因为他知道了专栏中如何插入公式，他想重排此专栏。——小北海龙王挖矿）

标签：

……

……的评论 (共条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

……

本文作者的其他文章

……的评论 (共 条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

……的评论 (共条)