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一元二次方程

1.一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c=0（a≠0），等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax²叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。

提示：（1）在一般形式中，b和c可以为任意实数，但a≠0，若a=0，次方程就不再是二次方程了！

（2）要确认一元二次方程的各项系数，必须先将此方程化成一般形式，在确定a，b，c的值。

3.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于形如（x+a）²=b的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时x+a=±√b，x=-a±√b；当b≤0时，此方程无实数根（注意：无实数根不可以看作无解，因为高中还有虚数）

（2）配方法的理论是依据a²±2ab±b²=（a±b）²，将a当做x，则x²±2xb±b²=（x±b）² ；一般步骤：①化为一般形式。 ②移项，将常数移到方程右边。 ③化系数为一，及方程两边同时除以二次项系数。 ④配方，及方程两边都加上一次项系数的一半的平方，化为（x+m）²=n的形式，⑤若n≥0，就直接开平方，若n＜0，则无实数根。

（3）公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式是x=-b±√b²-4ac/2a（b²-4ac≥0）

公式法的步骤：①把方程转化为一般形式。 ②确定a，b，c的值。 ③求出b²-4ac的值。 ④当b²-4ac≥0是带入公式。

（4）因式分解法：因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法的步骤：①将方程的右边化为0. ②将方程的左边分解成两个一次因式的乘积。③令每个因式等于0，的一元一次方程，解开此方程，结果就是与一元二次方程的解。

4.一元二次的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式，常用Δ来表示，即Δ=b²-4ac。

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根。

（3）当Δ＜0时，方程无数根。

提示：（1）Δ＝b²-4ac是适用于一元二次方程。

（2）使用时要先化成一般形式，才能确定a，b，c的值。

（3）当Δ＝b²-4ac≥0时，方程有实数根。

5.一元二次方程根与系数的关系：如果方程ax²+bx+c=0（a≠0）那么两个实数根时x₁，x₂，那么x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。

（1）若x₁+x₂=-b/a=0，则x₁，x₂互为相反数

（2）若x₁·x₂=c/a=1，则x₁，x₂互为倒数

（3）若Δ≥0，x₁+x₂=-b/a＞0，x₁·x₂=c/a＞0，则两根同为正。

（4）若Δ≥0，x₁+x₂=-b/a＜0，x₁·x₂=c/a＜0，则两根同为负。

（5）若x₁·x₂=c/a＜0，则两根异号。

提示：要熟练掌握以下的等式变形：

①x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂

②（x₁-x₂）²=x₁²+2x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）-4x₁x₂

③|x₁-x₂|=√（x₁-x₂）²=√（x₁+x₂）²-4x₁x₂

④1/x₁+1/x₂=x₁+x₂/x₁·x₂

⑤x₂/x₁+x₁/x₂=x₁²+x₂²/x₁·x²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂/x₁·x₂

⑥（x₁+a）·（x₂+a）=x₁·x₂+a（x₁+x₂）+a²

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