量子力学“微扰论”和“变分法”中一个常用积分的证明

积分公式：

可以看出，直接积分该式是较为困难的，因为存在两位置矢量作差取模为分母，但好在我们在《数学物理方法》课程中研究过该类函数，它正是勒让德多项式的母函数，我们可以用勒让德多项式来把它作展开：

同时，在球坐标系下，对体积的积分为如下形式

则

可以看出，上式还是难以积分，我们不妨再将勒让德多项式用球谐函数展开，即运用在《数学物理方法》中学过的球谐函数的加法公式：

将球谐函数的加法公式代入原积分公式可得

可以看出，上式是含有两个在不同坐标系中球谐函数的积分，则利用球谐函数的性质(正交归一性、定义式)有

同理，有

这样就消除了不同坐标系积分带来的困难，且完成了角向积分，将球谐函数的积分全部变成了正交关系！将上面两式代回原积分式中，则由正交性可以看出只有 的项保留下来，积分化为

其中显然用分部积分可以计算出各项，先计算含有的项，然后再计算含有 的项. 分部积分过程略复杂，下面我们来计算.

其中可以由洛必达法则计算

这样，就求解完了关于 的积分

上式可以看出含有 ，则将上式放到的积分中进行进一步计算，仿照上面的步骤，由分部积分和洛必达法则可以求得

最终即得