复变函数来了||数学物理方法

2021-01-12 21:19 作者:湮灭的末影狐 0人读过 | 我要投稿

//本文属于不太系统的学习笔记，或者可以称为记录。

//数理方法这门课在过去一直是一个传说，是我当时作为一个高中生不敢触碰的领域。

//但是现在大学里也待了一学期了。我决定直面困难。

//开始吧。

1. 复变函数

1.1 复数的定义及运算

这一部分基本上是之前学过的知识，简单回顾：

由于某些特殊问题的需要，我们定义了虚数单位 $i%3D%5Csqrt%7B-1%7D$ ，并定义复数集C：

$%5Cmathbb%7BC%7D%3D%5C%7Bz%20%5Cmid%20z%3Dx%2Bi%20y%2C%5C%3B%20x%2C%20y%20%5Cin%20R%5C%7D$

复数z可以用复平面上的点表示，同时可用极坐标表示：

$z%3Dx%2Biy%3D%5Crho%20e%5E%7Bi%5Cphi%7D$

上式利用了欧拉恒等式

$e%5E%7Bix%7D%3D%5Ccos%20x%2Bi%5Csin%20x$

上述变量还有以下关系：

$x%3D%5Crho%20%5Ccos%20%5Cphi%20%3D%7B%20%5Crm%20Re%7D%20z$

$y%3D%5Crho%20%5Csin%20%5Cphi%20%3D%7B%20%5Crm%20Im%7D%20z$

$%5Crho%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3D%7Cz%7C$

$%5Cphi%3D%7B%5Crm%20Arg%7Dz%3D%7B%5Crm%20arg%7Dz%2B2k%5Cpi%2C%5C%2C%20k%20%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%2C%5C%3B%20%7B%5Crm%20arg%7Dz%20%5Cin%20%5B0%2C2%5Cpi)$

它们分别称为复数的实部、虚部、模长、辐角。特别需要注意复数的辐角Argz的值是不能唯一确定的，增加周角的整数倍，复数值不变。这意味着

$%5Csqrt%5Bn%5D%7Bz%7D%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Crho%7De%5E%7Bi%5Cfrac%20%5Cphi%20n%7D$

可以有n个不同的取值。

在复数域同样可以定义和实数类似的加减乘除运算；交换律、结合律、分配律仍然成立。

如果要简单理解，复数可以看作复平面的二维矢量；复数的加减服从矢量的加减法则；复数的乘(除)服从模长相乘(除)，辐角相加(减)；特别地，一个复数乘 $e%5E%7Bi%5Cphi%7D$ 的作用是绕原点逆时针旋转角度 $%5Cphi$ ；如果乘 i 则是逆时针旋转90度。

1.2 复变函数

复变函数的定义与实变函数类似，笔记中不再详细描述。复变函数

$w%3Df(z)%2C%5C%3Bz%20%5Cin%20E$

中，z称为宗量，E为定义域，包含于复数域。此外还有一些麻烦的定义，这里不详细描述。

事实上我首次见到复变函数的应用是在高二的时候，当时在学费曼讲义，并看到了费曼教授用一种非常奇妙的方式求二维拉普拉斯方程

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0$

的特解，他说：

现在我们来谈一个不可思议的数学定理，它是那么令人喜悦，所以我们将它的证明留给你们数学中一门课程去做(我想就是和数理方法类似的课程)...对于任意“普通复变函数”(我想他指的是和常见初等函数类似，没有Rez,argz之类的表达式)...自动地满足下列关系...

$f(z)%3Du(x%2Cy)%2Bi%5C%2Cv(x%2Cy)$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0$

这意味着对于任意随手写下的“普通的”复变函数(后面会详细说明，实际上是解析函数)，都对应拉普拉斯方程的两个特解！这对当时的我来说实在是难以理解的神奇理论。但是接下来我们会尝试理解它...

1.3 复变函数的导数

复变函数的导数定义类似于实变函数：

$f'(z)%3D%20%5Clim_%7B%5CDelta%20z%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(z%2B%5CDelta%20z)-f(z)%7D%7B%5CDelta%20z%7D$

但是宗量是复平面上的点，极限存在的条件是从平面上任意方向趋近于目标点，得到的极限值都相同。因此复变函数可导的条件比实变函数更严格。设可导的复变函数

$f(z)%3Du(x%2Cy)%2Bi%5C%2Cv(x%2Cy)$

如果 $%5CDelta%20z$ 沿实轴(即x轴)趋于0，则根据以上定义式

$f'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(z%2B%5CDelta%20x)-f(z)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%20i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$

沿虚轴趋于0，则

$f'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20y%20%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7Bf(z%2Bi%5CDelta%20y)-f(z)%7D%7Bi%20%5CDelta%20y%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$

两种方式求得的导数应当相等。因此可得柯西-黎曼方程：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$

上式是复变函数 $f(z)%3Du%2Biv$ 可导的必要条件。

复变函数在某一点可导的充要条件是： $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$ 在这一点均存在且连续；而且满足柯西-黎曼方程。

复变函数的求导法则与实变函数基本一致，这里不再展开。

1.4 解析函数

若函数在 $z_0$ 及其邻域处处可导，则称该函数在这一点解析；函数在某区域每一点都解析，则称为该区域的解析函数。

事实上有了柯西-黎曼方程我们就可以解释前面在费曼讲义中提到的神奇操作了，并且这也是复变函数中的一个重要定理。解析函数的主要性质：

将柯西-黎曼方程两边分别相乘，得到

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D0$

这相当于

$%5Cnabla%20u%20%5Ccdot%20%5Cnabla%20v%3D0$

所以曲线族 $u%3DC_1$ 和 $v%3DC_2$ 是正交的。

若对柯西-黎曼方程进行微分得到：

$%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2v%7D%7B%5Cpartial%20x%5Cpartial%20y%7D$

$%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D-%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D-%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2v%7D%7B%5Cpartial%20x%5Cpartial%20y%7D$

相加即可得

$%5Cnabla%20%5E2%20u%20%3D%200$

同理得

$%5Cnabla%5E2v%3D0$

因此解析函数 $f(z)%3Du%2Biv$ 定义域上u, v均为调和函数，即满足拉普拉斯方程。

所以以上就是当时费曼讲义提到的定理，它可以用来求自由空间中平移不变情况下的电势分布(此时电势满足二维了拉普拉斯方程)：任意写下一个解析的复变函数，则得到的u和v分别确定电势与电场线。

理论上，u或v已知，则可以由柯西-黎曼方程反推得到原先的复变函数表达式。

1.5 平面标量场

前面提到的复变函数用于求平面静电场只是其中一个案例。实际上包括热传导、流体的无旋定常流动等模型中，只要出现了满足拉普拉斯方程的平面标量场，都可以用类似的方法研究。以电场为例，如果一个解析函数的实部或虚部为电势场，则称这一解析函数为复势。不妨设

$f(z)%3Du(x%2Cy)%2Bi%5C%2Cv(x%2Cy)$

其中u就是空间中的电势函数。此时v也有其物理意义：

首先根据u，v曲线族正交，曲线族 $v(x%2Cy)$ 就是电场线方程；又如果求A，B两点的电通量：

$%5CPhi%3D%5Cint_A%5EB%20E_n%5Ccdot%20%7B%5Crm%20d%7D%20s$

其中 $E_n$ 是电场垂直积分路径的分量。容易证明，该积分可以写成

$%5CPhi%3D%20%5Cint_A%5EBE_y%20%7B%5Crm%20d%7Dx-%20E_x%20%7B%5Crm%20d%7Dy%3D%20%5Cint_A%5EB%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%7B%5Crm%20d%7Dy-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%7B%5Crm%20d%7Dx$

将柯西-黎曼方程代入，得到

$%5CPhi%3D%20%5Cint_A%5EB%20dv%3Dv(x_2%2Cy_2)-v(x_1%2Cy_1)$

因此 $v(x%2Cy)$ 称为通量函数，给出两点间的电通量。对于其他模型如热传导或流体，则给出两点间热流量或流体的流量。

1.6 多值函数

前面提到的

$f(z)%3Dz%5E%5Cfrac1n$

就是多值函数。以n=2的情况为例，则有

$z%5E%5Cfrac12%3D%5Csqrt%7B%7Cz%7C%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7B%7B%5Crm%20Arg%7Dz%7D%7B2%7D%7D$

而此时Argz有两个取值 $%7B%5Crm%20arg%7Dz%2C%5C%3B%7B%5Crm%20arg%7Dz%2B2%5Cpi$ . 所以

$w%3D%5Csqrt%7Bz%7D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Csqrt%7B%7Cz%7C%7D%20e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%20%5Carg%20z%7D%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A-%5Csqrt%7B%7Cz%7C%7D%20e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%20%5Carg%20z%7D%7B2%7D%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

上式给出的两个不同w值称为两个单值分支。

注意到 $z%3D0$ 点：如果从某点出发绕该点一周回到出发点，则函数会由一个分支连续变化到另一个分支。如果换一条不包含这一点的路径，则回到出发点时仍然在同一单值分支。此外在这一点各单值分支相等。故 $z%3D0$ 称为函数 $f(z)%3D%5Csqrt%20z$ 的支点。绕支点2(n)周将使函数回到同一分支，函数值不变，故该点是2-1=1(n-1)阶支点。