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双曲线中一个值得记住的比例

2023-01-02 08:57 作者:数学老顽童  | 我要投稿


如图，过双曲线C：%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D1的右焦点F_2%0A作渐近线的垂线，垂足为P，线段PF_2交双曲线于Q，则

%5Cfrac%7B%5Cvert%20F_2Q%20%5Cvert%20%7D%7B%5Cvert%20QP%20%5Cvert%20%7D%20%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20

证明：如图，过P作PG%5Cbot%20x轴，垂足为G，

过Q作QH%5Cbot%20PG，垂足为H.

因为%5Ctan%20%5Cangle%20POF_2%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D，

所以%5Ccos%20%5Cangle%20POF_2%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D，

所以%5Cleft%7C%20PO%20%5Cright%7C%3Da，%5Cleft%7C%20PF_2%20%5Cright%7C%3Db，

因为%5Cbigtriangleup%20POG%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20F_2PO，

所以%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OF_2%20%5Cright%7C%7D

所以%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%5E2%7D%7B%5Cleft%7C%20OF_2%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7Bc%7D，

所以线段PG所在直线即为双曲线的一条准线.

因为%5Cbigtriangleup%20PHQ%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20OPF_2，

所以%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20F_2P%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20F_2O%20%5Cright%7C%7D，

所以%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20F_2P%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20F_2O%20%5Cright%7C%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C

因为%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QF_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D（双曲线的第二定义）

所以%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QF_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D，

所以%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QF_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D，证毕.

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