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第六章 定积分的应用

第二节 定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积

1.直角坐标情形

由曲线y=f(x)（f(x)≥0）及直线x=a，x=b（a<b）与x轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分

其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素，它表示高为f(x)，底为dx的一个矩形面积。

2. 极坐标情形

设由曲线ρ=ψ(θ)及射线θ=α，θ=β围成一图形（简称为曲边扇形），现在要计算它的面积，这里，ψ(θ)在[α,β]上连线，且ψ(θ)≥0，步骤——

• 取极角θ为积分变量，它的变化区间为[α,β]。

• 相应于任一小区间[θ,θ+dθ]的窄曲边扇形的面积可以用半径为ρ=ψ(θ)、中心角为dθ的扇形的面积来近似代替，从而得到这窄曲边扇形面积的近似值，即曲边梯形的面积元素

    ——以上式为被积表达式，在闭区间[α,β]上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为

二、体积

1. 旋转体的体积

定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。

例子：圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角边、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体，所以它们都是旋转体。

体积：取横坐标x为积分变量，它的变化区间为[a,b]。相应于[a,b]上的任一小区间[x,x+dx]的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积近似于以f(x)为底半径、dx为高的扁圆柱体的体积，即体积元素

——以上述体积元素为被积表达式，在闭区间[a,b]上作定积分，使得所求旋转体体积为

2. 平行截面面积为已知的立体的体积

结论：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分来计算。

做法：以上述定轴为x轴，并设该立体在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间。以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。假定A(x)为x的已知的连续函数。取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]；立体中相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的一薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx的扁柱体的体积，即体积元素

——以上述体积元素为被积表达式，在闭区间[a,b]上作定积分，使得所求立体的体积为

三、平面曲线的弧长

定义：设A、B是曲线段的两个端点。在弧AB上依次任取分点

并依次连接相邻的分点得一折线。当分点的数目无限增加且每个小段都缩向一点时，如果此时此折线的长

的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，并称此曲线弧AB是可求长的。

定理：光滑曲线段是可求长的。