［标题党］［科学梗］挂谷宗一问题简介

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挂谷宗一这个名字一听就是日本人，事实上也的确如此。挂谷宗一提出了一个著名的问题——挂谷问题（我说这**不是**吗挂谷提出来的不叫挂谷问题还能叫什么问题）

挂谷问题大致意思如下：给定边长（设边长为1）的线段，让这个线段在转动和平移的作用下转过360°角并回到原位，求最小转过的面积。后来人们发现这里的转过180°和360°答案貌似是一样的，于是人们把问题改成了转180°。

于是我们立刻可以给出两个符合条件的模型，就是“π/2”与“π/4”型，前者指的是将这个线段放在一个半径为1的圆里转半圈或者放在半径为1/2的圆里转一圈。或许这是一些小学生（甚至是少数中学生和极个别大学生）的极限了。

然而数学家不会满足于这两个简单的模型。之前的拙作《［标题党×低创］［科学梗］莱洛三角形的等宽性》中，我们漏写了等宽曲线的一个性质，就是所有宽一定的等宽曲线中，莱洛三角形面积最小，这个我也不会证明。由此我们不难构造一个莱洛三角形，让线段在里面转。我们可以求出莱洛三角形的面积，就是一个半径为1的半圆面积减去两个边长为1的正三角形的面积。具体算一下就是π/2－二分之一倍的根号三。我们通过放缩法可以证明这个值是比π/4小的。然后我们又不难发现，直接来一个高为1的正三角形面积更小，它的面积是根号三分之一。我们又可以通过放缩法求得它小于莱洛三角形的面积。

那么最后也就是挂谷宗一的极限了——内摆线。内摆线是一种非常神奇的东西，它是一个小圆在大圆内部，然后小圆绕大圆旋转若干圈得到的小圆上的某个点的轨迹。这里指的是三尖瓣线，曲线方程为：

x=cost+1/2·cos(2t)

y=sint-1/2·sin(2t)

反正大致就这个意思，可以算出它的面积就是π/8。包括挂谷宗一在内的很多数学家认为这就是最小值了，BUT。

不知多少年之后，在1928年，一个名为别西科维奇的数学家证明：最小可以是任意小。这个由于我能力有限所以无法证明。网络上的一个答案是这样的：

想象一个高为1的等边三角形，把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起。这个新图形面积比三角形小，但是在其中，属于 [-120°,-60°] 的每个角都能找出边长 ≥1 的线段。

重新开始，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫做"佩龙Perron树"。如果我们重复这个步骤，把三角形分为 16 个、32 个、……、 2^n个，显然整个图形的面积可以越来越小，并且可以证明图形面积无限趋近于0。

把 3 个佩龙树分别旋转 0°，120°，240° 并叠在一起，可以看到，最后的图形在每个角上都有边长 ≥1 的线段，这也就是说它是一个贝西科维奇集，并且面积任意小。

然而数学家并没有停止探索，终于在1971年，一个名为坎宁安的数学家提出：在单位圆内可以做出单连通的、面积无限小的挂谷集。

至此，问题基本结束。