考研数学11：单调有界准则(压轴题)

首先推荐一个B站的up主：来车车厘子。他在递推数列的视频中详细讲解了单调有界准则，讲解非常到位，非常具有启发性。我认为看懂了他的视频，递推数列就没有什么问题了。 进入正题。单调有界准则适用于求解抽象极限的极限存在性问题。这是一个通法思路，并不仅仅就只是适用于递推数列。只是根据题目不同，求解单调性有界性的方式不同而已。对于单调性，函数极限，主要是判断f(x)的单调性。而数列极限则是经常通过判断相邻通项Xn+1和Xn的大小关系判断单调性。 一：单调性证明： (1)利用导数判断单调性。这个适用于函数极限以及给出通项表达式Xn＝f(n)的数列极限。通过比较导数和0的大小关系判断单调性。≥0单调递增，≤0单调递减。这里要和递推数列的导数法加以区别。 (2)递推法判断单调性。这是数列极限最常使用的判断单调性的方法。主要是构造相邻通项的差 Xn+1-Xn＝A(Xn-Xn-1) 如果A≥0，那么相邻两项符号相同，数列单调，反之数列不单调。特殊地，面对递推数列： Xn+1＝f(Xn)的形式，可以利用拉格朗日中值定理构造上述等式。 Xn+1-Xn＝f(Xn)-f(Xn-1)＝f'(cn)(Xn-Xn-1) 此时，如果判断f'(x)≥0，则数列单调，然后通过判断X2和X1的大小关系判断递增递减。相当于数归法。反之，f'(x)＜0，数列不单调。 (3)作差作商法。构造Xn+1-Xn，判断≥0单调递增，≤0单调递减。构造Xn+1/Xn，判断≥1单调递增，≤1单调递减。这个通常通过构造不等式判断。 (4)函数单调性。这个主要是通过单调函数的值的大小去反向判断Xn+1和Xn的大小关系。这个在难题中非常常见。主要思想是： 如果存在f(x)单调递增，而f(Xn+1)≥f(Xn)那么Xn+1≥Xn。如果f(Xn+1)≤f(Xn)，则Xn+1≤Xn。f(x)单调递减同理可推。 这种判断方法主要应用于递推数列的推广： g(Xn+1)＝f(Xn) 首先判断g(Xn+1)和f(Xn+1)的大小关系。可以通过作差法判断和0的关系得到。然后通过判断f(Xn+1)和f(Xn)的大小关系，从而根据f(x)的单调性判断Xn+1和Xn的大小关系。 这种题目有一个重要实例就是方程列问题。 数列Xn是方程列Fn(x)＝0的根。这种题目通常使用上面介绍的函数单调性逆推来判断单调性。 (5)反证法，断言，分类讨论。反证法有很多形式，也是一种通用方法。比如说假设f(x)不单调，带入条件中。 (6)还有一些细粒度的方法。通过在关系式中引入不等式，拉格朗日中值定理去结合上面的思想判断单调性。 二：有界性证明。 (1)连续函数在闭区间必有界。这个可以推广。在开区间情况下，连续函数左右区间极限存在，函数依然有界。 (2)极限的局部有界性。这也是判断证明函数，数列有界的方式。主要是通过写出极限定义，构造 |f(x)|≤m，证明有界。 (3)数归法。这是数列极限最常用的有界性证明。至于界的寻找主要有两种情况比较多见。一个是从X1中找界。一个是和单调性证明结合。因为单调性证明中，导数很可能不恒正恒负，这就需要先判断范围也就是有界性，再去判断单调性。 (4)最值问题。寻找函数的最值，找到上下界。 (5)不等式放缩。 单调有界准则是解决抽象极限的其中一种方法，后续方法之后介绍。