【零基础学经济Ep54】查漏补缺——数学基础（十五：同济常微部分）+经济概念日常梳理
聊一种特殊的二阶线性非齐次微分方程：常系数线性非齐次微分方程。
接着给“效用论”开个头。
part 1 同济《高等数学》常微分方程部分
二阶线性非齐次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。
将上面非齐次方程中的P（x）和Q（x）换成常数p、q，即得到——
常系数非齐次线性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=f（x）的微分方程。
上一次聊了二阶线性齐次微分方程求通解的方法——
写出微分方程的特征方程；
判断特征方程解的情形；
按照三种情形写下通解，可以直接把通解背下来，也可以从特征方程直接推。
我们学过二阶线性微分方程解的结构的相关定理——
定理三：设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解。
所以，我们只需要解决求得二阶线性非齐次微分方程的一个特解y*的方法即可。
书上列举了两种常见形式，不用积分即可求出——
f（x）=Pm（x）e^（lx）——其中l是常数，Pm（x）是x的一个m次多项式：
Pm（x）=a0x^m+a1x^（m-1）+……+am-1x+am；
f（x）=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]，其中l、w是常数，Pl（x）、Pn（x）分别是x的l次、n次多项式，且有一个可为零。
类型一——
y"+py'+qy=Pm（x）e^（lx）——“待定系数法”——
令y*=Q（x）e^（lx）；
y*'=e^（lx）[lQ（x）+Q'（x）]；
y*"=e^（lx）[l^2Q（x）+2lQ'（x）+Q"（x）]；
将1、2、3代入上述非齐次方程，y"+py'+qy=e^（lx）[l^2Q（x）+2lQ'（x）+Q"（x）]+pe^（lx）[lQ（x）+Q'（x）]+qQ（x）e^（lx）=Pm（x）e^（lx），即Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）。——其中待定的部分就是函数Q（x）的取值。
注意到l^2+pl+q与该方程对应的齐次方程的“特征方程”形式相同，下面按照l的情况进行分类讨论——
情形一：l不是特征方程x^2+px+q=0的解，即l^2+pl+q不为0——
分析：Pm（x）是一个关于x的m次多项式，所以Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）也是一个关于x的m次多项式。
过程——
设Q（x）=Qm（x）=b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm；
Q'（x）=Q'm（x）=b0x^（m-1）+b1x^（m-2）+……+bm-2x+bm-1；
Q"（x）=Q"m（x）=b0x^（m-2）+b1x^（m-3）+……+bm-3x+bm-2；
将Q（x）、Q'（x）、Q"（x）代入原方程，合并同类项，左右同次项相等，即可解出所有系数bi，即得到Q（x）。
情形二：l是特征方程x^2+px+q=0的解，且方程x^2+px+q=0有两个不相等的解，则l不等于-（p/2），即2l+p不为0——
分析：原方程Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）可简化为Q"（x）+（2l+p）Q'（x）=Pm（x），Pm（x）是一个关于x的m次多项式，所以Q"（x）+（2l+p）Q'（x）也是一个关于x的m次多项式，那么Q（x）是一个关于x的m+1次多项式。
过程——
设Q（x）=xQm（x）=x[b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm]=b0x^（m+1）+b1x^m+……+bm-1x^2+bmx；
剩余步骤同情形一。
情形三：：l是特征方程x^2+px+q=0的解，且方程x^2+px+q=0有两个相等的解，则l=-（p/2），即2l+p=0——
分析：原方程Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）可简化为Q"（x）=Pm（x）。
过程——
设Q（x）=x^2Qm（x）=x^2[b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm]=b0x^（m+2）+b1x^（m+1）+……+bm-1x^3+bmx^2；
剩余步骤同情形一。
综上——y"+py'+qy=Pm（x）e^（lx）具有形如y*=x^kQm（x）e^（lx）的特解，k=0、1或2。
明天讲类型二。
part 2.1 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——
第一节引入效用的概念——
效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。
效用的度量——
基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。
序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。
明天进入边际效用分析法。
part 2.2 经济学概念——曼昆
曼昆《经济学原理》第二章最重要的内容是两个最基本模型，第二个是——
productions possibilities frontier生产可能性边界——
商品组合可能性的图线，以两种商品的关系来分析；
大多为弓形；
分析斜率可以得到机会成本；
对某种产品的生产力改变，会带来图线改变。
明天继续！
