悬链线与双曲函数、反双曲函数（3）

        认识反双曲函数，我们也从一个熟悉的角度。

        在做奇偶函数题目中，一定有几个函数常常映入眼帘。

        容易证明，为奇函数，为非奇非偶函数函数，为奇函数。

        其实，这三个函数分别为反双曲正弦函数、反双曲余弦函数、反双曲正切函数。

        分别记作

    ## 注意：这里不是arc开头，而是ar开头，是因为这里ar表示area（面积），而不是arc（弧）。

        所以，这些名称是怎么来的？

        首先，我们需要了解双曲函数，可以参考以下链接。

        反双曲函数，顾名思义就是双曲函数的反函数。

        那么，对于双曲正弦函数

        取其反函数

        化简为关于的一元二次方程，得到

        解得

        或

        所以

        这就是反双曲正弦函数的表达式，记作

        同样的，对于反双曲余弦函数

        取其反函数

        化简为关于的一元二次方程，得到

        解得

        或

        人为规定，取第一个等式成立。我们得到

        这就是反双曲余弦函数的表达式，记作

    ## 事实上，其间关系如图所示。

        同样的，对于反双曲正切函数

        取其反函数

        化简为关于的一元二次方程，得到

        解得

        或

        所以

        这就是反双曲正切函数的表达式，记作

面积函数的由来

        反双曲函数，又称面积函数。

        图中双曲线为

        过E点直线为

        考察图中双曲扇形ACBD的面积，我们发现

    ## 这里用到积分公式

        同时，我们有

反双曲函数的导数

        来看反双曲正弦函数。

    ## 这里

        再来看反双曲余弦函数。

    ## 这里

        再来看反双曲正切函数。

        限于篇幅与繁复的计算，下面不加证明地给出剩余几个反双曲函数的定义及诸多相关式子。

    ## 看起来和反双曲正切函数的导数相同，但两者定义域不同！

        另外，我们有