三角形中的线段

众所周知，这是一个普通的三角形。

又众所周知，高线，中线，角平分线与三角形有关的三条线段。 再加上勾股定理和余弦定理，我们便可以用三角形的三边长度表示出三角形的高，中线，角平分线的长度。理论存在，实践开始。 （一）三角形的高

如图所示，△ABC的三边长分别为a，b，c，设AB边上的高AD的长为h，BD的长为c/2+t，AD长为c/2-t。 在Rt△BCD和Rt△ACD中，根据勾股定理， (c/2+t)²=a²-h² ① (c/2-t)²=b²-h² 0 ①-②，得， (c/2+t+c/2-t)(c/2+t-c/2+t)=a²-b² 所以2ct=a²-b² 所以t=(a²-b²)/2c 所以c/2+t=c/2+(a²-b²)/2c =(a²-b²+c²)/2c 所以h²=a²-(c/2+t)² =a²-[(a²-b²+c²)/2c]² =a²-[(a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²+2c²a²)/2c]² =4a²c²/4c²-[(a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²+2c²a²)/2c]² =(-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/4c² 所以h= √[(-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/4c²] =√(-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/2c 这样，我们就用三角形的三边长表示出了三角形的高的长度。 但是这样要计算三边长的四次方，计算起来比较麻烦，于是我又对根号里的式子进行了化简： -a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a² =(2a²b²-a⁴)+(2b²c²-b⁴)+(2c²a²-c⁴) =a²(2b²-a²)+b²(2c²-b²)+c²(2a²-c²) 所以h =√[a²(2b²-a²)+b²(2c²-b²)+c²(2a²-c²)]/2c （二）三角形的中线

如图所示，CD是△ABC的中线，设CD=x，∠BDC=α，∠ADC=180°-α。 在△BDC和△ADC中，根据余弦定理， a²=x²+(c/2)²-2cosαxc/2 =x²+c²/4-cosαcx ③ b²=x²+(c/2)²-2cos(180°-α)xc/2 =x²+c²/4+cosαcx ④ ③+④，得 a²+b²=2x²+c²/2 所以4x²=2a²+2b²-c² 所以2x=√(2a²+2b²-c²) 所以x=√(2a²+2b²-c²)/2 (三)三角形的角平分线

如图所示，CD是△ABC的角平分线，设CD为x，BD为m，AD为n，∠BCD=∠ACD=α，∠BCA=2α。 根据角平分线的性质，易知 m∶n=S△BCD∶△ACD=a∶b 又因为m+n=c 所以m=ac/(a+b)，n=bc/(a+b) 所以m-n=(a-b)c/(a+b) 所以m²-n²＝(m+n)(m-n) ＝c·(a-b)c/(a+b) ＝(a-b)c²/(a+b) 在△ABC中，根据余弦定理， cos2α＝(a²+b²-c²)/2ab 又因为cos2α＝2cos²α-1 所以2cos²α＝(a²+2ab+b²-c²)/2ab ＝[(a+b)²-c²]/2ab ＝(a+b+c)(a+b-c)/2ab 所以cosα＝√[(a+b+c)(a+b-c)/4ab] 为了便于表示，我们设(a+b+c)(a+b-c)=A 则cosα＝√(A/4ab) 在△BCD和△ACD中，根据余弦定理， m²=a²+x²-2cosαax ⑤ n²＝b²+x²-2cosαbx ⑥ ⑤-⑥，得， m²-n²＝a²-b²-2cosα(a-b)x 所以(a-b)c²/(a+b) ＝(a+b)(a-b)-(a-b)2cosαx 两边同时除以(a-b)，得 c²/(a+b)＝a+b-2cosαx 2cosαx＝(a+b)²/(a+b)-c²/(a+b) ＝[(a+b)²-c²]/(a+b) ＝(a+b+c)(a+b-c)/(a+b) =A/(a+b) 所以x＝A/(a+b)÷2cosα ＝A/(a+b)÷2√(A/4ab) ＝A/(a+b)÷√(A/ab) ＝A÷√A×√(ab)÷(a+b) ＝√(Aab)/(a+b) ＝√[ab(a+b+c)(a+b-c)]/(a+b) 这样，我们就得出了三角形的高，中线，角平分线的长度：

高： √[a²(2b²-a²)+b²(2c²-b²)+c²(2a²-c²)]/2c 中线：√(2a²+2b²-c²)/2 角平分线：√[ab(a+b+c)(a+b-c)]/(a+b) 此外，知道了三角形的高，我们就可以根据三角形的面积公式S＝1/2ah，得出三角形的面积 S＝1/2ah ＝1/2×c×√[a²(2b²-a²)+b²(2c²-b²)+c²(2a²-c²)]/2c ＝√[a²(2b²-a²)+b²(2c²-b²)+c²(2a²-c²)]/4 将这个公式变形一下，就得到了秦九韶公式 S＝√{1/4{a²b²-[(a²+b²-c²)/2]²}} 也许秦九韶就是用这种方法得出的秦九韶公式吧。 -----------------分割线------------------ 推算这些东西的灵感其实是来自这三道题

这三道题都提到了一个特殊的三角形，即三边分别为13，14和15的三角形，这个三角形在长为14的边上的高为12。于是我就想到将这个性质一般化，也就是已知三角形的三边，求三角形的高，然后我又求出了三角形的中线和角平分线的长度，并算出了三角形的面积。这个过程正是从特殊到一般，再推广的过程，也许许多的科学家都是用这样的方式，得出了许多著名的成就。 最后，这篇文章中可能会有错误的地方，欢迎大家指正。真理越辩越明。