【银蛇出品】数学漫谈2——第一型曲线积分和重积分的变量变换问题
前置知识：一元函数微积分、多元函数微积分、空间解析几何、行列式
在学习多重积分的坐标变换和第一型曲线、曲面积分(下文简称曲线、曲面积分)时，我们需要记忆很多的几何微元变换公式。那么，我们自然要问，有没有办法可以一劳永逸地解决这些公式的记忆问题？换言之，这些公式是否有共通之处？下面我们讨论一下这个问题。
首先做两点声明。第一，我们所做的讨论都是在n维欧式空间R^n中的，即两点A(x1,x2,…,xn)和B(y1,y2,…,yn)距离的定义默认为：
第二，若无特别声明，假定函数的一阶(偏)导函数存在且连续。
下面讨论曲线积分。我们由简入繁，通过一些具体的例子进行分析，归纳一般的规律，最后进行求证。
首先考虑二维平面R^2上的曲线积分，设曲线l方程为f(x,y)=0，点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在曲线l上。如何计算曲线l上一段弧AB的长度l(A,B)呢？其实很简单，只需要在这一段曲线上面做弧微分的积分即可
在二维平面上，弧微分满足
其中dx,dy是笛卡尔坐标系下对两个相互正交的坐标的微元。这个式子满足我们前边对距离的定义。这个时候，如果我们在笛卡尔坐标系下研究问题，事情就会简单许多。按照下面的步骤很容易就能推出一种弧长计算公式
其中
当然了，二维平面上曲线的表示方法还有很多，例如用参数方程
或者极坐标方程r=r(θ)。而它们的曲线积分计算公式都可以从弧微分ds的定义出发进行简单的推导得到，只需要合理运用微分的计算法则。
由于笛卡尔坐标系和极坐标系存在变换关系
因此
在推导公式(4)(6)(8)时，关键在于找到形如公式(5)一样的变换关系式(对于公式(4)，可以将f(x,y)=0视为x=x，y=y(x)，形式上就与公式(5)相同了)，实质上这是一个R^2→R的变换关系。然后进行微分运算，整理出依赖于单变量的定积分。
下面我们试着推导抛物线坐标系下，曲线σ=σ(τ)上弧AB的长，其中
在三维空间R^3中，我们总可以找到类似公式(5)的变换关系t:R^3→R
而弧微分满足
就可以仿照二维平面中曲线积分的步骤进行推导。如果愿意，这种做法可以推广至n维欧式空间R^n。至于一维直线上的变换，其实只是加了一步微分形式不变形的手续。
下面讨论重积分，曲面积分实质上也是一种重积分。这次我们改变一下思路，从一般性的通式出发。
我们计算重积分依赖于Fubini定理，找到一个合适的微分形式，将重积分转换为累次积分才能用定积分的方法进行计算。计算面积要用到二重积分，对于二重积分来说，这个微分形式可以写成E(u,v)dudv。其中最简单的就是笛卡尔坐标系下的dxdy。
在二维平面上，我们需要考虑的仅是基于笛卡尔坐标系的坐标变换关系。假设存在一个变换关系(u,v):R^2→R^2
如何将dxdy变成新坐标系下E(u,v)dudv的形式？下面的思路是考虑新旧坐标系下的面积微元间的关系，利用泰勒展开写出E(u,v)dudv。在坐标系xy下取合适的面积微元ABCD，其中各点坐标为A(x0,y0), B(x1,y1), C(x2,y2), D(x3,y3)，使得对应于新坐标系uv中各点为A'(u0,v0), B'(u0+Δu,v0), C'(u0,v0+Δv), D'(u0+Δu,v0+Δv)。在计算面积微元时，长度微元的高阶无穷小可以忽略不计，也就是以直代曲，于是就可以把坐标系xy中的面积微元视为一个小平行四边形。而根据泰勒公式
于是可以计算面积微元
也就是
结合公式(7)可得极坐标下的面积微元
对于三维空间而言，其中的曲面方程是一个变换关系(u,v):R^3→R^2
可以用相同的思路推出面积微元(留给观众同学自行证明)
当曲面方程为一般式F(x,y,z)=0时，可以把它改写为x=x, y=y, z=z(x,y)，于是就有一般计算曲面积分的公式
利用公式(18)可以很方便地解决一些特定曲面上的问题。例如，求部分薄球壳的重心、转动惯量，求分布于部分球面上电荷的电荷量等。
对于三维空间，也可以仿照上述做法推导体积微元在新旧坐标系下的变换公式。假设存在一个变换关系(u,v,w):R^3→R^3
则旧坐标系xyz与新坐标系uvw间体积微元的变换公式为(留给观众同学自行证明)
于是可得柱坐标系和球坐标系的体积微元
如果文章就到这里，有些观众同学可能会不太满意，这些东西随便找一本高数教材都有，还用得着再啰嗦一遍？其实，目前国内主流教材在做这些推导时依赖于几何直观，并且不具有普适性，而同学们感兴趣的可能正是蕴含在数学公式后的普适性。故此啰嗦了一大堆。
好吧，如果这样狡辩仍不能满足观众同学，那么下面我将把前述所有结论进行进一步推广，把任意n维欧式空间R^n纳入考虑范围。
现在我们考虑n维欧式空间中的一个m维几何体(m≤n)。
首先需要定义一个能够衡量其大小的量，称之为n维超体积。从n=1的情况开始考虑，1维超体积就是长度，其定义就是两点间的距离。
当n=2时，2维超体积就是面积，其定义来自于平行四边形ABCD，设|AB|=a, |AC|=b, <AB,AC>=θ12，则
当n=3时，3维超体积就是体积，其定义来自于平行六面体ABCDA'B'C'D'，设|AB|=a, |AC|=b, |AA'|=c, <AB,AC>=θ12, <AB,AA'>=θ13, <AC,AA'>=θ23，则
于是，我们可以自然地进行推广，当n=4时，对于“平行超体”ABCDA'B'C'D'-EFGHE'F'G'H'， 设|AB|=a, |AC|=b, |AA'|=c, |AE|=d, <AB,AC>=θ12, <AB,AA'>=θ13, <AB,AE>=θ14, <AC,AA'>=θ23, <AC,AE>=θ24, <AA',AE>=θ34，则定义其4维超体积为
我们还可以用行列式来定义n维欧式空间中n维超体积。
当n=2时，考虑平行四边形OABC，设A(x11,x12), B(x21,x22)，则
当n=3时，考虑平行六面体OABCO'A'B'C'，设A(x11,x12,x13), B(x21,x22,x23), O'(x31,x32,x33)，则
当n=4时，考虑“平行超体”OABCO'A'B'C'-EFGHE'F'G'H'，设A(x11,x12,x13,x14), B(x21,x22,x23,x24), O'(x31,x32,x33,x34), E(x41,x42,x43,x44)，则
这种定义更加直观。
我们还需要引入楔积的概念。一方面，引入楔积对于讨论n维欧式空间中的m维几何体(m≤n)的超体积而言是方便的；另一方面，重积分中的微分形式实际上就与楔积运算有关，与表示m维超体积密切相关。
我们这里引入的楔积是传统意义上外积的一种推广。它作用于两个向量，而得到的结果不是向量，并且满足：
ei(i=1,2,…,n)是n组单位正交基。显然
此外，楔积还满足结合律和分配律。以三维空间中的某一正交坐标系为例
我们把公式(26)得到的结果称作2-形式，公式(27)得到的结果称作3-形式，一般的向量称作1-形式。于是我们发现，k-形式和l-形式作楔积得到k+l-形式。另外，n维空间中，对1-形式最多可作n-1次楔积，得到n-形式。
另外，我们再自行定义k-形式的长度。对于n维空间下的k-形式
规定其长度为
如此定义之后，我们惊喜地发现，楔积运算同样可以表示n维超体积！并且，这种定义方式相比于行列式是存在天然的优点的，因为，行列式只能用来表示n维欧式空间下的n维超体积，而利用楔积和我们自定义的k-形式的长度就可以表示n维欧式空间下的m维超体积(m≤n)。
至此，准备工作已经完成。
由前面重积分部分的推导，要计算一般m维超体积，我们首先需要计算出m维超体在n维空间中的微元，它可以近似为一个“平行超体”。现有一个变换关系(x1',x2',…,xm'):R^n→R^m
仍然利用泰勒公式，取m维超体上m+1个适当的点A0,A1,A2,…,Am，满足
于是
从而
这样，我们就把n维欧式空间R^n下m维超体的超体积微元比较简洁的表示出来了，只要对其进行积分，就可以求出相应超体的超体积了。
至此，我们回过头去，以三维空间中的曲面积分为例进行检验。结合公式(17)可知
所得结果与公式(18)完全一致，这印证了我们得到的公式的正确性。
可能有的观众同学要问了，这么抽象的公式有个毛用？问得好，我认为用高度抽象而简洁的公式来概括一系列公式背后所蕴含的一般规律，恰恰是数学之美的一种体现。尽管我们所讨论的例子很可能应用范围极其有限，不过我们学习数学的过程其实就是这样，其结构由直观到抽象，其形式由纷复繁杂到高度统一。而在这个过程中，我们可能需要引进全新的结构或方法，从而对问题产生新的理解，促使我们向更加深邃的数学海洋前进……
最后，请读者同学试着推导一下4维欧式空间下曲面积分的公式吧。Key：
