【浅谈学术】薛定谔方程的“前世今生”（上）
今天我们来看看在初等量子力学与高等量子力学中的薛定谔方程
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔方程表明量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
这是某百科上给出的定义，有数学本质，也有物理内涵。
所以先让我们来看一下薛定谔方程吧：
这是一般情况下含时的薛定谔方程，是表示求二阶偏导数，V是势能函数，
是波函数。
那么波函数在干什么？给出定义：
波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数
即量子力学第一基本假设：“对于一个微观体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。”而其模平方 具有很重要的意义，在统计学上它表示粒子在空间某一点的概率；在物理上有意义的波函数需要满足
全空间内所有粒子出现的概率和一定为1，不为其他值，这是很好理解的。此外还可以从数学上收敛级数来分析其性质——连续的函数在每个空间微元之和就是定积分，积分值为1，是收敛的；而离散的函数（数列）在每个点的值之和就是级数的和。因此不难理解为什么波函数在无穷远处的值是收敛且为0的，这一点在某些题目中是很有用的隐藏条件。
而一束粒子，类似电动力学中的电流，都是满足概率守恒的：
波函数的那些事，我们会在以后讨论，目前应该把主要目光集中在薛定谔方程上。
薛定谔方程可以通过如下操作得出：
对于初等量子力学，我们并不需要在含时问题上纠结太多，因为我们面对的都是定态问题；定态问题用最朴素的语言描述就是“演化过程与时间无关，题目中可以不考虑时间的影响”。所以我们不妨认为 你可以argue说这是极为特殊的情形，这不假，但是仅在“量子算学”的大环境下完全成立（即默认“量子算学”里面波函数都是可以做分离变量处理的）
我们将这样的波函数代入上式并进行化简（左边对时间求偏导，右边的偏导数则是对r求导）
可以得到两个方程（为了方便进行，我们令其等于E）
①
②
①式表明时间函数可以通过积分得到，形式为
③
②式进行移项后就可以得到在量子算学中最常出现的定态薛定谔方程，可以解
形式为 ④
对于量子算学，掌握这些常见的定态薛定谔方程题型是很有必要的，现总结如下：
（给出关于波函数形式取法的技巧）
Ⅰ 一维无限深方势阱（One-dimensional infinitely deep square potential well）
也就是把④式的V=0然后再计算，常用技巧是取
然后利用波函数在x=0和x=a处为0的边界条件确定k的值（sinka=0）
Ⅱ 一维无限势（One-dimensional infinite potential）
经常出现的是δ函数势，看似不友好的外表本质也很简单：
你可以不科学地认为这个势函数是偶函数，只是因为它画的对称；而事实证明如果给出奇函数的解那一定是不存在的，因为这个形式下取得的波函数解是形如的，而这样的函数在x=0处一定不为0。所以这时候波函数解的形式为
定义
不过你可以不记这个公式而现场手算（笑）
Ⅲ 一维有限势（One-dimensional finite potential）
这里一般是计算量最为恐怖的势磊贯穿题目，我也懒得死记硬背公式，一般都是现场推导这个四元一次方程组（如果有这种题目）希望大家都能手算几十遍，做到过程烂熟于心吧~给个曾谨言量子力学第四版的例题：
所以一维问题最考验物理人的计算能力（笑）
然后是有限势阱问题，这个则需要利用到高中解隐零点的套路，也不难。
照理说，下面的步骤就是利用波函数以及波函数一阶导数连续性确定k的值，但是如何来定函数的形式呢？为此我们需要引入一个新的概念，也可以作为后面的解题技巧
宇称
我并不打算细讲什么是宇称，我只是想说这是曾谨言量子力学书上的一个知识点，用已知的语言总结起来就是“势场的奇偶性与波函数的奇偶性相同”。所以下面的推导就好懂多了：
超越方程，万能的、最为直观的解法就是画图
Ⅳ 一维谐振子问题（One-dimensional harmonic oscillator）
堪称是初学者杀手，与前几个常数势的类型大不一样，同时引进了新的数学知识，记忆和推导难度都是直线上升。这里不建议看Griffith的《量子力学概论》，因为格里菲斯会优先用算符理论推导，而不是常规的解方程。
将曾谨言量子力学的过程粘过来~
这种方程的基本解法是：先利用边界条件进行试探，试探解重新代入原方程然后重新求解（类似于分离变量法解微分方程）厄米多项式显然是关键，可以自行查阅《数学物理方法》。
无量纲化的参数引入也是很有必要的，使得方程变得清晰、简洁。
当然你可以直接记结论
狄拉克在后面运用漂亮的算子代数让形式变得简洁，不过算符理论是soon后才会讲解的。
你也会在谐振子的题型中看到这种奇奇怪怪的方程：
但是我们的谐振子势能函数却是 这是不是做不出来呢？
这时候需要利用一个万能的线性变换：
你可以自行验证变换后的与变换前的关系，一般是相等的。
这些是初等量子力学（量子算学）中一维问题的汇总，在这里薛定谔方程已经被我们用的滚瓜烂熟。后面会继续讲高维形式下的薛定谔方程（量子算学中的氢原子问题）高等量子力学的高视角还未到来，但是我相信诸位和我一样再期待着它。这篇文章且当是题型总结的复习与热身。
