【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep60】一个重要极限（完结）

今天来证明e是无理数，接着我们再聊两道其他教材上有意思的习题。

37数e的近似计算法

我们先复习一下需要用到的知识点——

1. n趋向于无穷大，数列lim（1+1/n）^n=e；——常用形式；

2. n趋向于无穷大，数列lim（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）=e；

3. 我们用2中数列来估算e的取值，误差小于1/n!n，即e-（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）<1/n!n；

4. 所以存在一个数Θ，满足0<Θ<1，使得e-（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）=Θ/n!n<1/n!n；

我们从4这个条件导出e是无理数的证明——

3.数e是无理数

反证法——

1. 假设e为有理数，即存在整数m、n，使得e=m/n；

2. 已知对整数n，有

   e=（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）+Θ/n!n，0<Θ<1，

   则m/n=（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）+Θ/n!n，0<Θ<1；

3. 将2中所得等式两侧同时乘以n!：

   左边=（m/n）*n!=m（n-1）！，为一个整数，

   右边=[（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）+Θ/n!n]*n!=（2+1/2!+1/3!+……+1/n!）*n!+Θ/n，为一个分数，

   左右两边不相等，导出矛盾，则e为无理数。

再补充几个其他教材上的有趣的例题——

1.常庚哲、史济怀《数学分析教程》第一节例题，第3页例题——

分析：书上用到无穷递降法，我们来把这种方法的思路先捋一下，再看完整答案——

1. n不是完全平方数，即n^（1/2）不是整数，最小的整数为1，1为完全平方数，则n肯定大于1，数学表示为存在整数m>0，m<n^（1/2）<m+1；

2. 肯定用到反证法，假设存在整数p、q，使得n^（1/2）=p/q；

3. 结合1、2，m<p/q<m+1，即0<p-mq<q，以这种方式得到了一个在0和q之间的整数，

   无穷递降法的原理是小于某个数的正整数是有限个的，而我们导出的关系式却可以推出一个在0和某个整数之间无限递减的数列，

   所以我们再得到一个含有p、q和p-mq的关系式，即可用到这种方法；

4. 由2、3配凑，p^2=nq^2，p（p-mq）=p^2-mpq=nq^2-mpq=q（nq-mp），即p/q=（nq-mp）/（p-mq）；

5. 我们令p1=nq-mp，q1=p-mq，即可同理得到两组无限递减的正整数数列，其中pk=nqk-1-mpk-1，qk=pk-1-mqk-1，然而这是不可能的，得证。

完整证明如下——

2.史济怀《数学分析》视频课上第一节课的思考题——

求证：如果n不是完全立方数，则n^（1/3）是无理数。

分析过程大同小异——

1. n不是完全立方数，即n^（1/3）不是整数，最小的整数为1，1为完全立方数，则n肯定大于1，数学表示为存在整数m>0，m<n^（1/3）<m+1；

2. 肯定用到反证法，假设存在整数p、q，使得n^（1/3）=p/q；

3. 结合1、2，m<p^2/q<m+1，即0<p^2-mq<q，以这种方式得到了一个在0和q之间的整数，

   所以我们再得到一个含有p、q和p^2-mq的关系式，即可用到这种方法；——这一步是由第五部配凑的时候反推得到的；

4. 由2、3配凑，p^3=nq^3，p（p^2-mq）=p^3-mpq=nq^3-mpq=q（nq^2-mp），即p/q=（nq^2-mp）/（p^2-mq）；

5. 我们令p1=nq^2-mp，q1=p^2-mq，即可同理得到两组无限递减的正整数数列，其中pk=nqk-1^2-mpk-1，qk=pk-1^2-mqk-1，然而这是不可能的，得证。

明天继续！