2023数分Day80(二重积分3：极坐标变换)

一、需要复习到位的

1、极坐标变换的理念，x、y→r,θ的范围如何取？

2、熟悉单位圆等话语的内涵（暗含r,θ的范围）

3、复习辅助角公式（在南大那题有很大用处）

注：辅助角公式中，后面那个角相对于tan的关系：去看这里是化成sin还是cos，

如果化成sin,就让sinx前面的系数a做分母；

如果化成cos,就让cosx前面的系数b做分母；

4、直角坐标与极坐标之间转换（正向、逆向都要会，西南财经大学那题中有所涉及）

二、具体题目

1（南大）由单位圆，联想到做极坐标变换；计算Jacobi行列式；代入f(a,b），凑出a^2+b^2形式，利用某个定积分的性质（day74习题3结论）化简。这个结论记住它，直接用。

2（山东大学）出现x^2+y^2,区域A又涉及圆环，自然想到使用极坐标变换；写清楚r,θ范围及|J|.计算积分即可。

3（大连理工）算面积，想到使用二重积分（此时被积函数为1）。

做法：

①、极坐标变换，写清楚r,θ范围及|J|

（θ范围利用x≥0，y≥0;r范围利用题干等式）

②、算积分，其中涉及到很多技巧，化简，以及三角函数相关知识，可以借助此题好好领悟。

4（西南财大）逆向出题，给极坐标系，通过化成直角系做题。

做法：

①、确定r,θ范围。观察被积函数，r是|J|，提出来；rsinθ就是y。

②、算积分就可以了。

注：最后的那个积分有一点难算，要利用到三角换元，具体过程如下。