【零基础学经济Ep51】查漏补缺——数学基础（十三：同济常微部分）+经济概念日常梳理
先结束同济书上二阶齐次线性微分方程的最后一点内容，再结束高鸿业书上“弹性”的内容，最后说一下曼昆书上的两个最基本的经济模型。
part 1 同济《高等数学》常微分方程部分
二阶线性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。
——二阶线性微分方程又分为两种——
齐次方程——f（x）恒为0；
非齐次方程——f（x）不恒为0。
注意：
这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；
解的结构，涉及四个定理，我们已经聊完了，今天进入二阶线性微分方程的解法内容，即，常数变易法——
一阶非齐次线性微分方程的解法：
解出对应一阶齐次线性微分方程的解Cy*（x）；
再令y=u（x）y*（x）；
代入该非齐次线性微分方程中即可消去若干项，得到该方程的解。
二阶非齐次线性微分方程的解法大同小异：
已知对应二阶齐次线性方程的解为Y（x）=C1y1（x）+C2y2（x）；——C1，C2为任意常数；
令y=y1（x）v1（x）+y2（x）v2（x）；
由2，dy/dx=y1'（x）v1（x）+y1（x）v1'（x）+y2'（x）v2（x）+y2（x）v2'（x）；
因为v1（x）和v2（x）的给出只需要使函数y依然满足原二阶非齐次线性微分方程即可，所以，我们可以找到v1（x）和v2（x）使得，y1（x）v1'（x）+y2（x）v2'（x）=0；
那么由3、4，可以得到y'=dy/dx=y1'（x）v1（x）+y2'（x）v2（x）；
由5，y"=y1"（x）v1（x）+y1'（x）v1'（x）+y2"（x）v2（x）+y2'（x）v2'（x）；
把2、5、6中的y、y'、y"代入待求方程d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x），即，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=f；——将所有的（x）都省略掉，因为写起来方便，只要记得里面的字母都是表示关于x的函数即可；
我们将7中式子整理得到，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"v1+Py1'v1+Qy1v1）+（y2"v2+Py2'v2+Qy2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"+Py1'+Qy1）v1+（y2"+Py2'+Qy2）v2=f；
由1知，8中蓝色式子为0，所以y1'v1'+y2'v2'=f；
联立4、9中的两个方程，得到一个关于v1'和v2'的方程组，接着用Cramer法则解出v1'和v2'；
再用直接求积分得到v1（x）和v2（x），再代入2中方程，即可求出y。
略微有点复杂，Cramer法则是线性代数的内容，不算特别难，但是很重要。
有机会老碧写一点数学基础知识的文章，顺带复习一下代数学几何学的基础知识，最近发现许多常见名词有遗忘的倾向，需要重新梳理基础，上规划，上规划咯！
part 2.1 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第二章第五节：弹性——
第五节引入弹性的概念——
弹性——一般来说，只要两个经济变量之间存在函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应敏感程度。
弹性一般公式——弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例。
弧弹性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：弹性系数，ΔX、ΔY变量X、Y的变动值。
点弹性公式——ΔX趋于0时，e=lim （ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——极限值。
我们之前聊过了需求的价格弹性、供给的价格弹性的分类、特点、图形分析、影响因素，今天聊剩下的两个弹性的内容，这部分就结束了，篇幅很长，比较重要，慢慢学、经常复习就好。
需求的交叉价格弹性含义——表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于它的相关商品的价格变动的反应程度；或者说，它表示在一定时期内一种商品的价格变化百分之一时所引起的另一种商品的需求量变化的百分比。
需求的交叉价格弹性公式——需求的交叉价格弹性系数=该商品的需求量变动率/相关商品的价格变动率。
需求的交叉价格弹性分类——
A.弧弹性——假定商品X的需求量QX是它的相关商品Y的价格PY的函数QX=f（PY）——
弧弹性公式——eXY=（ΔQX/QX）/（ΔPY/PY）=（ΔQX/ΔPY）*（PY/QX）——eXY表示需求的交叉价格弹性系数。
B.点弹性——当商品X的需求量的变化量ΔQX和相关商品价格的变化量ΔPY趋于无穷小时，需求的交叉价格弹性要用点弹性来表示——
点弹性公式——ΔPY趋于0时，eXY=lim[（ΔQX/QX）/（ΔPY/PY）]=（dQX/dPY）*（PY/QX）。
C.弧弹性和点弹性的符号——取决于所考察的两种商品的相关关系。
以此研究不同相关关系的商品的相互影响——
替代关系：如果两种商品之间可以互相代替以满足消费者的某一种欲望，则称这两种商品之间存在着替代关系，这两种商品互为替代品；——商品涨价，则它的替代品的购买量则会增加，相应的需求的交叉价格弹性系数eXY为正值；
互补关系：如果两种商品必须同时使用才能满足消费者的某一种欲望，则称这两种商品之间存在互补关系，这两种商品互为互补品；——商品涨价，则它的互补品的购买量也会随之下降，相应的需求的交叉价格弹性系数为eXY负值；
如果两件商品不存在相关关系，则相应的需求的交叉价格弹性系数为0。
反过来，可以根据两种商品之间的需求的交叉价格弹性系数的符号，判断两种商品之间的相关关系。
需求的收入弹性含义——表示在一定时期内消费者对某种商品的需求量变动对于消费者收入量变动的反应程度；或者说，它表示在一定时期内消费者的收入变化百分之一时所引起的该商品的需求量变化的百分比。
需求的收入弹性公式——需求的收入弹性系数=需求量变动率/收入量变动率。
需求的收入弹性分类——
A.弧弹性——假定某商品的需求量Q是消费者收入水平M的函数，即Q=f（M）——
弧弹性公式——eM=（ΔQ/Q）/（ΔM/M）=（ΔQ/ΔM）*（M/Q）——eM表示需求的收入弹性系数；
B.点弹性——
点弹性公式——ΔM趋于0时，eM=lim[（ΔQ/Q）/（ΔM/M）]=（dQ/dM）*（M/Q）。
商品分类——
a.劣等品——消费者对该商品的需求量与收入呈反方向变化的商品；——即eM<0；
b.正常品——消费者对该商品的需求量与收入呈同方向变化的商品；——即eM>0——
必需品——eM<1——收入下降时，对必需品的减少是有限的，即缺乏弹性的；
奢侈品——eM>1——收入下降时，对奢侈品的减少是较多的，即富有弹性的。
恩格尔定律：在一个家庭或一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少——弹性概念来表述：对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小，反之，就越大。
part 2.2 经济学概念——曼昆
曼昆《经济学原理》第一章介绍了经济学的几条基本原则，第二章最重要的内容是两个最基本模型——
the circular-flow diagram
the production possibilities frontier
明天开始逐一介绍！
