2017高中数学联赛B卷平面几何

上题

• 做出辅助线

我们设点M就是BC的中点

• 思路分析

既然是B卷嘛，那题目肯定很简单，从图里面直接猜BC⫽XY，ATM共线，那结论不就成立了嘛

再仔细看看——

我们根据塞瓦定理（当当当当，今天的第一个几何定理登场！）

可以知道，其实BC⫽XY和ATM共线是等价的，那只要证其中一个就好了嘛

于是，我们可以选择证明ATM共线来证明题目的结论

问题来了，我们怎么证明ATM共线呢？

有一种最朴素的方法：

设CP与AM交于T1，BQ与AM交于T2，我们只需要证明T1＝T2就好啦

而证明T1＝T2，我们很容易想到，只要证明

就好啦

而且这个比例不怎么好处理，那我们就再换一下

现在，我们又回到了处理比例的问题

我们再多看一眼条件，题目里根本就没什么好用的相似三角形嘛

既然比例已经换成了距离，那，我们就可以用面积啦

我们就只需要证明

用面积的目的呢，自然是为了转化成更好用的比例

那就再把面积换成比例吧

这样一来，我们就只要证明

遇到这样的比例呢，我们首先会想到的自然是塞瓦定理和梅涅劳斯定理，但是都不对（悲

那就只能用原始人方法了

正弦定理！

我们再来导一下角，就能得到一堆角相等

然后哗哗一顿操作，就证完啦

怎么样，B卷的题目是不是很简单呢