系数变化时的二次函数顶点轨迹

我们初中就学过二次函数

y=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)

其图像是一条抛物线

通过配方或者求导

可以得到二次函数图像的顶点坐标为

(-b/2a,(4ac-b²)/4a)

那么如果让某一个系数变化 其他系数固定

图像也在变化

那顶点划过形成的图形(以下简称轨迹)又是什么呢

但是系数是变化的 我们如何才能得到轨迹呢？

不着急 先试试

在GeoGebra中定义函数f(x)=ax²+bx+c(红色)

点A(-b/2a,(4ac-b²)/4a)(蓝色) 设置显示轨迹

当我们滑动a时

点A的轨迹是一条直线(如图1) 但不包括(0,c)

当我们滑动b时

点A的轨迹是一条抛物线(如图2)

并且当b=0时 轨迹与函数图像关于直线y=c对称

当我们滑动c时

点A的轨迹是一条垂直于x轴的直线(如图3)

显然它是函数图像的对称轴x=-b/2a

但有了这些还不够 除了c变化之外

我们如何求出a或b变化时的顶点轨迹呢？

首先 令x₀=-b/2a——①,y₀=(4ac-b²)/4a——②

当a变化时

我们考虑通过对①的变换来换掉a

由①,得:

ax₀=-b/2

a=-b/2x₀——③

将③代入②,得:

y₀=[4c(-b/2x₀)-b²]/4(-b/2x₀)

=(-2bc/x₀-b²)/(-2b/x₀)

=(-2bc/x₀-b²)·(-x₀/2b)

=-2bc/x₀·(-x₀/2b)-b²·(-x₀/2b)

=bx₀/2+c

即当a变化时

函数图像顶点的轨迹为y=bx/2+c(不包括(0,c))

当b变化时同理

由①,得:

b=-2ax₀——④

将④代入②,得:

y₀=[4ac-(-2ax₀)²]/4a

=(4ac-4a²x₀²)/4a

=c-ax₀²

=-ax₀²+c

即当b变化时

函数图像顶点的轨迹为y=-ax²+c

这也能解释图2中的现象了

当c变化时

由于只有②有c 无法代入

所以直接取①中的x₀=-b/2a

即当c变化时

函数图像顶点的轨迹为x=-b/2a(对称轴)

经过验证

“所有”顶点都落在求得的轨迹上(如图4~6)

你以为这就结束了吗？

实际上 当b=0时

a变化时的顶点并不动(如图7)

始终为(0,c)

通过顶点坐标可以看出

当b=0时 x₀=-b/2a=0,y₀=(4ac-b²)/4a=c

(真的没了,别看了)