附注：

1. 本文是对Courant先生的《什么是数学》一书中，第2章“数学中的数系”中第1节“有理数”第1小节的补充，补全了Courant先生书中除了有理数的加法结合律的证明以外的，另外四个“有理数的算术基本规律”的证明过程。想必Courant先生也有把余下的内容当成习题留给读者之意。

2. 下文中诸如“乘结”、’“乘交”、“加交”之类的词是缩写，完整的是“乘法结合律”、“乘法交换律”、“加法交换律”……

3. 请注意，定义1中的两个运算一个关系是我们人为规定的，不是可证的，其目的是为了保持整数算术规律到有理数依旧成立。

4. 具体证明过程，如果读者感到阅读困难，可以分别从两个方向来看那一大串连等式——“从头看到中间”和“从尾看到中间”，我在草稿纸上进行初步推导的时候，对于证明的步骤比较多的“律”，实际上也是按这样的方式进行的；不过当自己完全证明了一遍以后，已经了然于心，就采用了正文里更美观、更简洁的方式了。

正文