“定比分弦”原理深度剖析

先来谈谈最简单的抛物线。众所周知，抛物线上一点到焦点F的距离等于该点到准线的距离。

因此对于上图，F将焦点弦AB分为两段，过弦端点AB分别作准线的垂线。A，B到焦点距离分别为L1，L2，A，B到准线距离分别为d1,d2，则L1=d1，L2=d2。

对于AB倾斜角θ，可以转化到上面的那个角（如图所示），在图中的直角三角形中，可得出：

cosθ=d1-d2/L1+L2=L1-L2/L1+L2，设L1=kL2，则cosθ=k-1/k+1结论得证。

而对于将要讲述的椭圆和双曲线，则有必要提及到圆锥曲线的第二定义：平面内一动点P，一定点F，一定直线，若P到F距离与P到定直线距离的比值恒定=e，则P点运动轨迹为圆锥曲线（椭圆/双曲线/抛物线）。若0<e<1范围内，则运动轨迹为椭圆；若e=1，则运动轨迹为抛物线;若e>1，则运动轨迹为双曲线。有定义则必有性质，因此，对于圆锥曲线，均有焦点和准线，对于焦点在x轴的椭圆，x=±a^2/c为其准线。（参考：圆锥曲线第二定义）

因此，同上做法作两条垂线。L1/d1=L2/d2=e，则L1=ed1，L2=ed2

cosθ=d1-d2/L1+L2=d1-d2/ed1+ed2

ecosθ=d1-d2/d1+d2

设L1=kL2，则d1=kd2，ecosθ=kd2-d2/kd2+d2=k-1/k+1，结论得证

对于双曲线同理。

L1/d1=L2/d2=e，则L1=ed1，L2=ed2

cosθ=d1-d2/L1+L2=d1-d2/ed1+ed2

设L1=kL2，则d1=kd2，ecosθ=kd2-d2/kd2+d2=k-1/k+1，结论得证

综上，有ecosθ=k-1/k+1，由于原公式中θ视为倾斜角，k为长段分弦比短段分弦（≥1）

所以最终公式为|ecosθ|=k-1/k+1