【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章分式

§5-1分式

【01】在第三章里，我们讨论了整式的除法。但是整式的除法不一定都能够整除，例如 x²＋3x＋5 就不能被 x＋1 整除。和整数除法里由于不能整除因而有分数的表达形式一样，在代数里，我们还必须进一步研究整式以外的另一种有理代数式——分式。

1、分式的概念

【02】代数式 等都是有理代数式，但除式里含有字母，我们把它们叫做分式。就是

【03】除式里含有字母的有理代数式叫做分式。

【04】分式的写法，和分数一样，用一条横线作为除号，把被除式写在横线的上面，叫做分子，除式写在横线的下面，叫做分母。例如在分式里，分子是 1，分母是 a；在分式里，分子是 x－1，分母是 x＋5 等。

【注意】 等不是分式，因为这里没有含字母的除式。这两个代数式都是整式。

2、分式里字母的值的限制

【05】我们知道，任意有理数总可以进行加法、减法和乘法的运算，所以在整式里，字母可以取任意数值。但是在分式里，分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。例如分式就表示 a 除以 b 所得的商，这里分子 a 可以取任意数值，但分母 b 不能是零（因为用零做除数是没有意义的）。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可以取任意的数值，但是分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

例1.下列各分式里，字母心的值有什么限制？  。

【解】

(1)在里，x 不能是零，即 x≠0；

(2)在里，由于 x＝2 时，x－2＝0，所以 x≠2；

(3)在里，由于 x＝－2时，x＋2＝0，所以 x≠－2；

(4)在里，由于 x＝a 时，x－a＝0，所以 x≠a  。

【06】以后我们遇到分式，总假定分式里字母所取的值不会使分母等于零。

3、分式的值

【07】分式是一个代数式，所以我们可以按照求代数式的值的方法，把分式里的字母用指定的数值代入，按照指定的运算进行计算化简，就可以得出分式的值来。

例2.求代数式的值：(1)当 x＝2；(2)当 x＝－2；(3)当 x＝－4；(4) x＝2/5；(5)当 x＝1  。

【解】

例3.求代数式的值：(1)当 x＝3，y＝1；(2)当 x＝7，y＝3；(3)当 x＝－2，y＝－4；(4)当 x＝，y＝；(5)当 x＝0，y＝－1  。

【解】

习题5-1

1、下列各代数式里，哪些是整式？哪些是分式？

2、下列各代数式里，哪些字母的值有哪些限制？

求下列各分式的值：

【答案】