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第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

1.曲边梯形的面积

概念：

• 曲边梯形：设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。

• 曲边：其中曲线弧称为曲边。

• 面积公式：矩形面积=高x底。

计算方法：把区间[a,b]中任意插入若干个分点

——把[a,b]分成n个小区间

——它们的长度依次为

——经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形

——为了保证所有小区间的长度都无限缩小，我们要求小区间长度中的最大值区域0，如记

——则上述条件可表为λ→0，当λ→0时（这是分数段n无限增多，即n→∞），取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积

2.变速直线运动的路程

等速直线运动公式：路程=速度x时间。

计算方法：在时间间隔

——内任意插入若干个分点

——分成n个小区间

——各小时段的长依次为

——相应的，在各段时间内物体经过的路程依次为

——

 

——记

——当λ→0时，取上述和式的极限，即得变速直线运动的路程

二、定积分定义

定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

——把区间[a,b]分成n个小区间

——各个小区间的长度依次为

——

——记

——如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间

——只要当λ→0时，和S总区域确定的极限I，那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称积分），记作

——其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。

 

定理：

1. 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2. 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

 

三、定积分的近似计算

方法：

• 矩形法：设f(x)在区间[a,b]上连续，这时定积分

    ——存在，把区间[a,b]等分的分法，即用分点

     ——将[a,b]分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长为

    ——

    ——从而对于任一确定的正整数n，有

    ——记

    ——以上求定积分近似值的方法称为矩形法，公式称为矩形法公式。

• 梯形法：将曲线y=f(x)上的小弧段用直线段代替，也就是把窄条曲边梯形用窄条梯形代替，由此得到的定积分的近似值为

• 抛物线法（辛普森（Simpson）法）：将曲线y=f(x)上的两个小弧段合起来，用过两个弧段三个端点的抛物线

    ——代替，经推导可得，以此抛物线弧段为曲边、以小区间长度为底的曲边面积为

    ——取n为偶数，得到定积分的近似值

四、定积分的性质

性质：

定积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：

——这个公式叫做积分中值公式。