浅论 理发师悖论背后的罗素悖论

封面阿万音铃羽（桥田铃） 2017.9.27出生 欢迎回来

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你是否听说过理发师悖论？

故事如下（转自百度百科，不作为商业用途）

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

这种有趣的问题常常吸引人去思考讨论，但理发师悖论本身确是罗素悖论的简化翻版，这样的一个小故事是如何引发了数学上的大危机的呢？又是如何让逻辑学大师弗雷格说出“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了”这样的感慨的呢？

如果还记得高中的数学课，学过一章叫做集合。我们知道，集合的元素要有确定性，在一个集合中，所有的元素都有一种明确的性质。例如：高的人是否为一个集合？答案是否定的，因为高这个性质不明确。

这正是由伟大的数学家康托尔在十九世纪提出的朴素集合论规定的，集合论的出现极大的推动了哲学的语言学转向，日常语言中的性质可以被量化为数学中的集合规定，这对于追求精准语言的哲学家有着致命的吸引力。

回到我们刚才提到的理发师悖论上，理发师的言行出现了矛盾，而这又能说明什么呢？只能说明“给不自己刮胡子的人刮胡子”这样的理发师不存在罢了。tan90°

而罗素悖论的真正意义在于，其有力的指出了朴素集合论的一个致命弱点。

罗素悖论如下：

设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ∉ S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S。

如果依照以上所说，这样的集合因为自相矛盾而不存在，即“不属于自己”这一性质没有对应的集合，这就与朴素集合论的规定“有一个明确的性质则必有一个对应的集合”冲突了，朴素集合论就此被颠覆了。这绝不是一件小事情，数学作为一直被称赞的确定性的学科（与以归纳法为基础的自然科学相对），此大厦的根基被动摇了。其中比较重要的一个影响就是动摇了无穷集合的确定性，似乎只有有穷数学才是确定的。

这一悖论被罗素本人和后来的逻辑学家“解决”（绕开）了，这就是公理集合论的建立了，预设了一些逻辑学上的前提公理以回避这一问题。具体可以查询词条“ZF公理系统”，笔者才疏学浅，不再赘述。

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不知道有没有阐明清楚罗素悖论的意义。如有不当，不清楚之处，劳烦指出

个人认为，这其实是一个很好的例子去分辨什么是哲学类的大众知识和哲学知识本身，乃至科学类大众知识和科学知识本身，往往结论是易懂的，通俗的，可以低门槛任意谈论的，但是背后的缘起和过程却少为人所知。而往往后者才是一个成熟学科的意义所在。