电路和概率中的Y-Δ变换

电路中的Y-Δ变换是我们熟知的：

变换方式为：

这只是做题时候用于简化电路的一个技巧，虽然Kirchhoff能解决一切问题，但是毕竟我们一般懒得解多元的方程组。但是它的意义仅此而已吗？仔细一想，它其实可以刻画三角形网格和六边形网格之间的转化关系。这使我们联想到三角形或者六边形网格上的percolation。

对于Z^2上的Bernoulli percolation，我们很容易通过duality看出p_c=1/2。这是因为Z^2的对偶还是它的本身。甚至，对于二维的FK percolation，也就是Ising模型或者更一般的Potts模型，也可以通过self-duality算出p_c：考虑把一个(p,q)的（free boundary）FK percolation的（wired boundary的）configuration做duality，会变成怎样的FK percolation？单纯尝试性地看一下，我们其实是想要比较

c(\omega)和o(\omega^*)是对应的。那么两个k呢？我们可以在Grimmett上找到这样一条公式：

把它应用在(\omega^*)^1上，发现k((\omega^*)^1)相比左边会少掉一个o(\omega^*)。这样一来就刚刚好了，只要

就可以满足duality。然后我们想，一个configuration critical的时候，它的duality应该也是刚刚好critical的。（subcritical和supercritical互相对应，critical和critical互相对应）。而且，Z^2的对偶还是Z^2。所以可以“看出”FK percolation的critical probability为：

所以Z^2上的Potts model的相变温度就知道了：

这也就是Onsager当年做出来的解析解。这个exact result一看就相当炫。

当然，上面只是一个observation，进一步的严格证明需要用相变的sharpness，不细写了。

上面都是题外话，只是想说明下边的事情：当我们想用一样的方法考察三角形网格的时候，发现出了问题：三角形网格的对偶是六边形，不再是本身了。但是Y-Δ变换给我们一个hint：也许三角形网格和六边形网格之间可以互相转化。

通过简单的概率计算我们发现，如果以下两个条件得以满足：

1.

这个值为1；

2.

那么对于“外部”的网格来说，这三个点之间连接关系的变化是“invisible”的。

因此，和前面Potts模型同理，我们可以看到，inhomogeneous triangular lattice的“critical surface”为：

等于1。因为有三个参数，所以不是critical point，而是critical surface。如果是homegeneous的话，那就是3p-p^3=1的解，也就是2sin(pi/18)。这也是难得可以求出的一个exact result。不过前面的结果更加一般，比如说对于两边p另一边p/2的inhomogeneous percolation，也可以算出threshold满足p^3-5p+2=0等等。另外注意，三角形的site percolation的threshold是1/2，这可以通过对称性直接看出来。而square lattice的site percolation threshold倒是没办法用duality算了，而且目前也没有精确表达，只有数值结果0.59274605079210(2)。