【最后十课终篇】导数大题-方法思路大总结！2023高考冲刺！第10讲

导数

求切线①斜率②切点③切线方程（点斜式），也可注意数形结合思想

公切线:①设俩切点②列两次切线方程③联立两个方程，对应系数斜率相等，消y，解方程

可先画图像，数形结合

将a用未知数x₁表示，a的取值范围，即求该式的最值，设函数，求导，因式分解。

高次不等式的解，穿针引线法，从右上往左穿，奇穿偶不穿。

列表写单调区间，求最值求值域

数形结合

因式分解，若为一元二次方程，则用十字相乘。

若为指数对数三角函数，则先合并同类项，再提公因式

多次求导，一次求导不成功，则再设函数求导分析正负（注意是设不知道单调性的式子的函数来分析，已知正负的可不再分析），还是不成功，再次设函数求导分析正负。最终目的，由导数的正负，推出上一个函数的单调性，再由函数的单调性，推出零点（注意是否存在，①可先猜根看0，1等简单数的值是否为零。②令该函数等于0求出零点。③若都行不通，则考虑卡根分别取一个能使其小于0和使其大于0的数，将零点卡在这个范围内，用范围来判断函数的正负），判断函数正负（此函数为上上一个函数的导数，则相当于知道了导数正负），最后判断原函数的单调性。

注意做题时始终带着目的走，由下往上不断的推，最终判断出原函数的单调性。每一步都要知道目标，知道是该求导还是求零点。

变形求导:①对数单身狗，对其单身，除以它的系数，使之分离为加减式。

②指数找朋友，找其朋友，除以指数，使之聚合成乘除式。

超越方程，即有㏑和ₑˣ的方程

对数单身狗

讨论函数的单调性

能作图则先画图，再判断

分类讨论①无零点，导数恒≥0（单调递增），或导数恒≤0（单调递减）

②有零点，⑴有一个零点，则直接求零点，由其导数的单调性判断导数的正负，从而判断原函数的单调性

⑵有多个零点，则又要讨论零点的大小

讨论函数的单调性

含参讨论，分别讨论零点

分别作图，相乘，判断正负

复杂恒成立

①参变分离

②先变形，再分参（同构）

ₑˣ与㏑混合的式子，先将其变式，ₑˣ前系数含参，将系数转化为ₑ㏑a的形式，使之为同一样式，然后将其他单个参数用加一减一的方法，将其转化为与ₑ☆的☆想同的式子，再将无参数的其他式子放到等式的另一边，若另一边的式子含有㏑，继续转为，将其转化为含㏑的ₑ㏑x，得到相同整体★，观察左右两边，同为ₑ☆＋☆，就可同构，构造出新的简单函数，根据新函数的单调性，来判断需满足的条件☆≥★，就可化简问题，得到一个简单的含参不等式，然后分离参数，得到参数的取值范围。

③讨论（根据题意的恒成立，写出不等式，移项构造函数，讨论其单调性，求出函数的最值，判断它与0的大小关系，从而证明恒成立）

④必要性探路，端点效应，变换主元

①带端点或特殊点，缩小a的取值范围

②端点效应，若函数在端点如0处的取值为0，根据题意，得函数在x＝0的领域内需单调递减，讨论导数在x＝0的时候的正负，利用其单调性来判断是否符合题意，再求出参数的取值范围。，

⒈小于0，函数在x＝0处单调递减，符合题意。

⒉大于0，函数在x＝0处单调递增，不符合题意。

⒊等于0，可直接得一个a值，要注意判断其函数是单调递增，还是单调递减，因为等于导函数等于0时（过而不穿）其图像可能为过零点而恒大于0（函数单调递增），或过零点而恒小于0（函数单调递减）。判断方法，带旁边的点计算，比较其是大于零还是小于零。

③变换主元，分别以a为变量，x为变量，分别证明其②中求出的a的范围成立（充要条件）

隐零点

①消参数a或消零点X₀

求导，判端导数的正负，得函数的单调性，用零点存在性定理，卡根，分别取两个值带入，一个小于零，一个大于零，则零点必在其俩值范围内。

将零点X₀带入原函数（此时原函数值等于0），得到一个x₀与a的等式关系（后续常用到，可用以消参或消零点x₀）

①消参数

②消零点，利用函数的单调性，将其横坐标的大小关系，转化为纵坐标的不等关系，即转化为参数式带入函数后的式子与0的大小关系（即转为上面的恒成立问题了），然后换元等等，求导求最值。

②消超越ₑˣ⁰，㏑x₀

③切线放缩

极值点偏移

当一个函数的增长速率不一样时，一跳直线与其相交，得两个交点的横坐标X₁，X₂，函数极值点的横坐标与俩横坐标的中点的位置关系，就叫做极值点偏移。

①构造函数，单调性换元

②对数平均不等式

③比值换元

④放缩等

利用两个X的值相等，分别列出含参等式，两式做差，消灭参数；两式相加，得到俩X和与积的关系。