分形几何，一种难以置信的数学之美
数千年以来，几何学的研究者一直认为能用几何来揭示自然的奥秘。甚至近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言：数理科学是大自然的语言。
然而在很长的时间中传统几何学所描述的三角形、圆等几何图形都只是具有可切性的规则形体。这类形体在自然界里只占极少数。
那有没有可能存在着一种类似于雪花一样，但却不规则的、不光滑的，却又能在细微之处无限相似的图形呢？
1883年，康托尔为数学引入了一个分形：康托尔集，取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段再分别三等分……如此重复这样的操作一直继续下去，直至无穷。
由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散非空的点集(线段的端点都没有去掉，其非空性是显然的)，其lebesgue测度为零(大家可以形象的理解为长度)。这个点集被称为康托尔点集
1895年，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数“魏尔斯特拉斯函数”
并凭借函数曲线特点“处处连续，处处可以无限细分下去，”证明了所谓的“病态”函数的存在性。
1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，它的每条曲线都可以相似的形状无限大的细分下去，而这个雪花曲线就是特例科赫曲线。
1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形。再对其余三个小三角形重复之前的操作，发现了可以无限细分下去的谢尔宾斯基三角形。
两年后，他用类似的方法将正方形进行分形，发现了正方形的分形——谢尔宾斯基地毯。
1967年，本华·曼德博在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》的著名论文。其中提到海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与其他分海岸有什么本质的不同。
这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态在一定程度上与整体形态的相似。
1975年冬天他将把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，创立了“分形”这个概念。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论，并由此创立了“分形几何理论”从而把数学研究扩展到了从前几何学无法涉足的那些“病态曲线”和“几何学怪物”的领域。
“云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。”分形几何学所映射出的自然事物不再是光滑无瑕、平坦规整的，而是凸凹不平、粗糙丛杂、扭曲断裂、纠结环绕的几何形体。
但是，分形几何学却否定了关于事物大小和久暂的区分的绝对标度性，指出对于大自然的某些现象，去寻求特征尺度是毫无意义的。并且还将艺术和数学联系在了一起，本华·曼德博向世界展示了这些惊人的艺术创作，之后分形艺术便一发不可收拾。
分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，它主要利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合创作者的审美及美术功底，就将创作出一幅幅精美的艺术画作。
从此以后，我们看到的数学不再只有那些枯燥的数学公式，更有了它美轮美奂的另一面。
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以上内容转自：质心哥，分形几何，一种难以置信的数学之美！
分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。
分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。
分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。
书名：大自然的分形几何学
书号：9787030714633
定价：198元
作者：著:(法)伯努瓦·B.芒德布罗(Benoit B.Mandelbrot)；译:凌复华,陈守吉;
样章试读：
为什么几何学常常被描述为“冷酷无情”和“枯燥乏味”的?原因之一是它无力描述云彩、山岭、海岸线或树木的形状.云彩不是球体,山岭不是锥体,海岸线不是圆周,树皮并不光滑,闪电更不是沿着直线传播的。更为一般地,我要指出，自然界的许多图形是如此不规则和支离破碎,以致与欧几里得几何学——本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不仅具有较高程度的复杂性,而且更具有完全不同层次上的复杂性。自然界各种模式中的长度标度，对所有实际应用而言都是无限的。这些模式的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得几何学搁置一边，认为是“无形状可言”的形状，去研究“无定形”的形态学。然而数学家们蔑视这种挑战，他们越来越多的选择是，想出种种与我们看得见或感觉得到的任何东西都无关的理论，来逃避大自然。作为对这个挑战的回答，我构思和发展了大自然的一种新的几何学，并在许多不同领域中找到了它的用途。它描述了我们周围的许多不规则和支离破碎的形状，并通过鉴别出一族我称为分形的形状，建立了相当成熟的理论。最有用的分形包含机遇，无论是它们的规则性还是不规则性都是统计意义上的。而且这里所述的形状还是趋于标度的，意味着其不规则程度和/或支离破碎程度在所有不同的尺度下都是等同的。豪斯多夫(Hausdorff)分形维数的概念在本书中起着核心作用。一些分形集合是曲线或曲面，另一些则是互不连接的“尘埃”，还有一些的形状是如此奇怪，以致无论在科学或艺术中都找不到合适的术语来称呼它们。我们鼓励读者现在就浏览一下书中的插图，看看它们到底是什么样子！这些图中有许多形状是以前从未考虑过的，另一些则表示已知的构造方式，但常常也是第一次作出的。事实上，虽然分形几何学出现于1975年，但它的许多工具和概念却在以前(由于与我的目的完全不同的其他各种目的)就发展起来了。通过把旧石料砌入新结构中,分形几何学能够“借用”非常广泛而又严格的基础,很快导出数学中引人注目的许多新问题。尽管如此，本书仍恪守其宗旨，既不追求抽象性也不追求一般性，它既不是教科书也不是数学专著。尽管本书很厚，我却把它看成一篇科学随笔，因为它是用个人的观点写成的，并不追求尽善尽美。像许多文艺随笔一样，常会兴之所至，离题闲聊。这种不拘形式的行文或许能使读者增加兴趣，更易理解。全书中有许多数学上“容易”的部分，特别是接近结尾处。读者不妨浏览和跳过这些，至少在头一两次阅读时。
