向量是 Geogebra 處理平面幾何變換的基礎數學概念，將向量搭配數值滑桿，就可以做到圖形動態變化的效果。在這節將利用高中平面向量的線性組合為例，來認識用向量與滑桿來控制移動。

任務一 用滑動桿來建立線性組合向量

說明：先在平面上建立 O, U, V 三點，再建立兩個基底向量 u=Vector(O,U),  v=Vector(O,V)。而 P 點由這兩個向量通過數值滑桿 m, n  來組合，即 P = O + m*u + n*v 。此時改變 m, n 的值，就可看到 P 點的變化。

操作指令

O = (0,0)

U = (1,0)

V = (0,1)

u = Vector(O,U)

v = Vector(O,V)

m = Slider(-5,5,0.1)

n = Slider(-5,5,0.1)

P = O + m*u + n*v

p = Vector(O,P)

任務二 利用平行線取得分解向量

說明：在此節要取得一個向量 OG 對兩個基底向量 u, v 分解的練習。主要通過 G 作兩條平行於 u,v 向量的直線，再取得與兩直線 OU, OV的交點。來觀察線性組合的係數。

操作指令：

Line(O,U)

Line(O,V)

Line(G,u)

Line(G,v)

任務三  取得線性組合係數

說明：要自動計算線性組合係數，先對分解的向量 mu, nv再對基底向量做除法，在 GGB 內，對向量做除法運算會將向量轉換為複數再作計算。在前面計算 mu/u 會得 1.5 + 0 i 。若只想要取得係數，就再加入 real 的指令，可取得這個複數的實部。 

操作指令：

MU = intersect( Line(G,v),Line(O,U))

MV = intersect( Line(G,u),Line(O,V))

mu = Vector(O,MU)

nv = Vector(O,MV)

mG = Real(mu/u)

nG = Real(nv/v)

任務四  線性組合的文本顯示

說明：前一節已取得線性組合的係數，通過 [插入文字] 可加入動態文本。最後並可再加入一個正六邊形，調整 O, U, V 的位置觀察不同的線性組合方法。

操作指令：

Polygon((-1,0),(1,0),6)

小結

用滑桿控制動點是讓 Geogebra「動」的一個重要方法，搭配向量就可以處理平面上圖形的移動。而向量的分解與線性組合也是向量很重要的概念，而『繞圓轉動的圓』其實就是用到一個動態座標系的概念，將向量分解為基礎向量的組合，讓我們可以處理邊轉邊繞的圓。

相關連結

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/p6ngb9kq

【Bili】https://www.bilibili.com/video/BV1aK4y1G7Si

【公众号文】https://mp.weixin.qq.com/s/mOhTS_QAJauEbmL5Iy2g6A