第三定义——“积”与“商”转化的绝佳利器（2023新高考Ⅱ圆锥曲线）

（2023新高考Ⅱ，21）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.

（1）求的方程；

（2）记的左、右顶点分别为、，过点的直线与的左支交于、两点，在第二象限，直线与交于，证明：点在定直线上.

解：（1）设由题可知，

又因为，

所以，

所以,

所以的方程为.

（2）

设过的直线的方程为：

，

因其过，故有

，

解得，

故的方程为.

的方程可变形为

，

即，

与联立得：

展开

并项

，

各项同除以，得

故.……（）

因为在上，故

，

变形得，

即，

即，

即，

即……（）

（此即双曲线之第三定义）

由、可知：，

即，

即，

解得，

故点在定直线上.