初中生也能看懂的四维超球体积公式推导

2023-04-05 23:16 作者:两口大橘子 0人读过 | 我要投稿

想要推导高维球的体积公式，我们不如先从低维出发，以寻找推导体积公式的规律普遍的，我们都知道二维平面圆的面积公式为： S=πr^2 我们提出疑问，那么这个公式到底是怎么来的呢？或许，我们可以从圆的周长公式： l=2πr 来从一维的线段长度推导二维的面积如图

若我们要求得整体圆的面积，那我们可以将黑圆环，蓝圆环，红圆环等等的面积进行相加可是，这离我们要的一维的“线”还是相差甚远，但我们如果不断增加圆环的数量，将这个圆分成1000个，10000个甚至无限个圆环的面积进行相加，那每个圆环的面积，就可以近似成一条线段的长度

蓝色线段为每个圆环的内部半径△r，当圆环数量趋近于无限时，其△r=0 接着，我们将每段“小圆环”(线)从内部剪开，展开成一个个“小梯形”而其“小梯形”可以近似看成“小矩形”，他的长就是圆环的长度，宽为0 接下来，我们把这一个个“小矩形”依次从小到大排列出来

我们发现，当每个“小矩形”依次排列后，整体成为了一个三角形，而且三角形的高也就等于最长的“小矩形，而那个最长的“小矩形”也就是之前长度最长的圆环这个圆环的长度也就是圆的周长 2πr 而这个三角形的底也就是所有“小矩形“(圆环)的内径相加其长度也就是圆的半径 r 容易看出，这个三角形的面积也就是2πr*r/2 πr^2 因为三角形的面积也就是所有圆环相加的面积所以三角形的面积也就等价与圆的面积至此，我们就从一维的线，推导出了二维圆的体积现在，我们不妨由二维圆来推导三维球的体积公式便于计算，这里我们先推导出三维单位球的体积想象一下，你的面前有一个充满水的水缸，你的视线恰好与水面一致，如果现在有一个球缓慢落入水中，那么你在水面将会看到球的横截面积在不断变化，当球浸没至一半时，在水面映射出的横截面积也就最大整个运动过程，我们将会看到其横截面积先由小变大，当运动但一半时最大，然后由大变小，直到消失那我们如果能把这所有的横截面积全部相加，我们也就能够推出球的体积了！这里，我们考虑半个周期如图

这里选用当运动时间正好到半个周期时的横截圆因为我们考虑单位球，所以当运动至半个周期时他的横截圆是单位圆也就是OA=1，我们令OB=x.AB=y 那么有关系式： x^2+y^2=1 x=√(1-y^2) 当x变化时，我们可以理解为半径为x的圆的面积变化这样我们就模拟出半个周期内横截圆面积的变化了由关系式可得 S横截圆=π-π(y^2) 定义一新函数f(x)使得： f(x)=-π(y^2)+π 容易看出，这个函数是一个二次函数，且他与y轴交点为π 那么我们只需要求出当y从0到1，其所有的S横截圆相加结果即可

也就等价于求如图红色区域的面积那么面积该如何求呢？我们或许可以用无数个“小矩形”近似，就像是用一维“线”求二维“面积”一样，如果我们把这无数个“小矩形”的长度(面积)相加，那么红色区域的面积自然就浮出水面了

不多废话，积分 S曲线=∫(from0to1) -π(y^2)+π dy =(-πy^3/3)-πy 令y=0和1，作差 =2π/3

这样我们就知道了，在这半个周期所有横截圆的面积之和为2π/3 相应的，整个周期也就是单位球的体积就是： V=2*2π/3 V=4π/3 终于来到了本专栏的重中之重，经过了上面的推导，相信你对这种低维长度(面积)转为为高维面积(体积)的方法已经掌握，那么我们现在就来推导单位四维超球的超体积(下文皆简称为V超) 想象我们面前有个装满水的水缸，不同的是，这次是一个四维的超球慢慢浸入水中，而我们在水面则能观察到凭空冒出一个球，缓慢增大直到运动至半个周期时缓慢减小，直到消失这里我们同样只考虑半个周期

(没错这还是上文那张图) 我们知道，四维超球往返于三维平面，相当于三维求往返于二维平面，这两种运动方式本质是等价的所以，我们采用利用三维算四维的方法关系式： x=√(1-y^2) 三维球体积公式： V=(4πr^3)/3 令r=x V横截球=[4π(1-y^2)^(1.5)]/3 令一新函数Z(y)使得 Z(y)=[4π(1-y^2)^(1.5)]/3