《几何原本》命题4.5【夸克欧氏几何】

命题4.5：

可作已知三角形的内切圆

已知：△ABC

求：作△ABC的外接圆

解：

作AB中点D

（命题1.10）

作AC中点E

（命题1.10）

过点D作DF⊥AB

（命题1.11）

过点E作EF⊥AC，与DF交点记为点F

（命题1.11）

连接AF，BF，CF

（公设1.1）

证：

当点F在△ABC内时（左图）

∵DF⊥AB

（已知）

∴∟ADF=∟BDF

（定义1.0）

∵AD=BD，DF公用

（已知）

∴△ADF≌△BDF，AF=BF

（命题1.4）

同理可证，AF=CF

∴AF=BF=CF

（公理1.1）

∴以点F为圆心，AF,BF,CF任意一个为半径作圆ABC经过其余的点

（公设1.3＆定义1.15）

∴圆ABC是△ABC的外接圆

（定义4.6）

同理可证，

当点F在BC上时（中图），可作△ABC的外接圆

当点F在△ABC外时（右图），可作△ABC的外接圆

证毕

推论：

当点F在△ABC内时，∠BAC＜直角，且所对弓形大于半圆

当点F在BC上时，∠BAC＜直角，且所对弓形大于半圆

当点F在△ABC外时，∠BAC＜直角，且所对弓形大于半圆

（命题3.31）

此命题将在命题4.10中被使用

PS：本命题的推论在希腊文版本中并没有被当作推论，只是跟在命题后面的一句话

来都来了，点个关注呗！