在上一篇里介绍了可观察量与算符,  其中提到了任意算符的特征函数都可以组成标准正交系,  即任意波函数都可以使用特定可观察量表达.  当体系或波函数使用某个可观察量 O 表示时,  称为处于 O 表象(representation).  对于之前讨论的情况,  一直都是用坐标作波函数的因变量,  所以之前的讨论是处于坐标表象的.

为了方便讨论,  这篇专栏都有假设:  算符都不会随时间变化,  特征值都是分立的,  特征函数都是归一正交的.  对于更一般的情况也有类似的结论,  只是式子更复杂了.

狄拉克符号

狄拉克符号把任意波函数 Ψ 记为右矢 |Ψ⟩.  但在深入讲解前,  先了解一下狄拉克符号的书写约定.

记可观察量 O 的特征方程  为 ,  或在没有歧义下可以记为  和 .

因为 Ô 的特征函数构成标准正交系,  所以矢基 {|n⟩} 组成了函数空间里的一组基,  假设下标 n 从1开始,  那么在 O 表象里记   以此类推.  对波函数 Ψ 在 O 表象下展开得 ,  写为右矢形式为 ,  可以看到在这种表达里 |Ψ⟩ 也是一个向量 .

记右矢 |Ψ⟩ 的转置共轭为左矢 ,  根据矩阵乘法可以有 ,  可以看到左矢与右矢相乘等于两函数的内积 (两向量的内积也是这样定义的),  对于两任意波函数 Φ 与 Ψ 的内积 (Φ,Ψ) 写为狄拉克符号 (⟨Φ|)·(|Ψ⟩),  简写为 ⟨Φ|Ψ⟩.  根据矩阵乘法,  乘积 |Φ⟩⟨Ψ| 为矩阵,  详细在下面讨论.  与向量类似,  右矢 |Ψ⟩ 为函数空间上的一个向量,  当不指定表象时 |Ψ⟩ 无法写出准确表示,  在下面会详细讨论变换表象时 |Ψ⟩ 的值如何变化.

波函数 Ψ在 O 表象下的特定描述 Ψ(O),  类比内积 ⟨n|Ψ⟩,  则 Ψ(O) 可以写为 ⟨O|Ψ⟩,  所以函数内积又可以写为 .

算符的矩阵表示

考虑算符 Q̂ 作用在波函数 Ψ 上 Φ = Q̂Ψ.  在 O 表象下,  对波函数展开为 ,  那么算符作用在波函数上可以写为 ,  这条式子求关于 ψₘ 的内积有 .  因为 ψ 是归一正交的,  即 (ψₘ,ψₙ) = δₘ,ₙ,  又记 ,  于是得到 ,  不难看到这个式子和"矩阵与向量的乘法"是一致的,  于是称  为算符 Q̂ 在 O 表象下的矩阵表示,  同样也可以记这个矩阵为 Q̂,  算符作用在波函数上写成狄拉克符号为   (在很多地方为了区分算符和矩阵,  会把后者记为 Q 而不是 Q̂).

因为算符 Q̂ 是厄米算符,  所以矩阵 Q̂ 也是厄米矩阵.  证明: ,  即 .

特殊地,  算符 Ô 在自身表象里的矩阵表示为对角矩阵,  证明: .

公式的矩阵表示

可观察量 Q 的期望值为 ,  对 Ψ 在 O 表象下进行展开得到 ,  可以看到积分式与上面定义 Q̂ 的矩阵元相同,  于是有 ,  根据矩阵乘法不难得出 ,  这就是 Q 的期望值在 O 表象里的矩阵表示.

算符 Q̂ 的特征方程 ,  写为矩阵形式得到 Q̂|Ψ⟩ = χ|Ψ⟩,  移项得 ,  其中 Î 为单位矩阵,  根据线代可以解出有一系列特征值 {χₘ} 和相应的特征向量 {|φₘ⟩}.

薛定谔方程 ,  对 Ψ 在 O 表象下展开,  再求关于 ψₘ 的内积得到 ,  根据特征函数的归一正交性,  并且记 ,  得到 ,  于是可以写出矩阵形式 .

酉变换

考虑 O 和 Q 两个表象,  设 Ô 的特征函数为 {ψ},  Q̂ 的特征函数为 {φ},  对 {φ} 以 {ψ} 展开有 ,  其中 .  根据特征函数的归一正交性得 ,  展开得 ,  由归一正交性得 ,  综上可以得到 .  由逆矩阵的定义知道这时满足 ,  那么则称 Ŝ 为酉矩阵(或幺正矩阵),  Ŝ 所表示的变换为酉变换(或幺正变换).

考虑一个波函数 Ψ,  那么 Ψ 在 O 表象与 Q 表象里展开为 ,  对 {φ} 以 {ψ} 展开 ,  因为这是恒等式,  所以有 ,  这表明 Ŝ 是 Q 表象到 O 表象的变换.

考虑一个可观察量 P,  那么 P̂ 在 O 表象与 Q 表象里分别表示为 ,  对 {φ} 以 {ψ} 展开 ,  根据矩阵乘法可以写出 ,  这个式子就是可观测量 P 在 O 与 Q 两个表象里的关系,  这个式子的几何意义是非常强的:  先作 Q 变换到 O,  再作 O 下的变换 P,  最后作 O 变换到 Q,  这三步就等于作 Q 下的变换 P.

矩阵的狄拉克符号表示

任意波函数 Ψ 在 O 表象下展开为 ,  记 |n⟩ 为 ψₙ,  那么这条式子写为 ,  因为求和与 |Ψ⟩ 无关,  于是得到 ,  这个式子表示了特征矢的封闭性.

考虑算符 Q̂ 作用在波函数上 ,  写为狄拉克符号形式为 ,  对这个式子进行展开得 ,  左乘特征左矢 ⟨m| 得到 ,  于是算符 Q̂ 的矩阵元为 ,  这与上面求得的是一致的.  对上式再左乘特征右矢 |m⟩ 并对 m 累加可以得到 ,  由特征矢的封闭性可以得到 ,  于是得到矩阵 Q̂ 的狄拉克符号表示 .

由矩阵乘法的转置规则  得到算符与左矢作用的式子 ,  如果 Q̂ 是厄米算符则有 .

占有数表象与湮灭产生算符

在传统的量子力学里,  只能描述特定粒子数目的系统,  而为了更方便地描述多量子系统,  引入了二次量子化(second quantization, 或正则量子化 canonical quantization).  在二次量子化里提出了一个可观测量:  占有数(occupation number),  占有数描述了当前系统处于某个特定态的粒子数目.  并且提出两个相应的算符:  湮灭算符(annihilation operator) 和 产生算符(creation operator),  湮灭算符描述了处于某个态的粒子数目减一,  产生算符描述了处于某个态的粒子数目加一.  占有数常记为 N,  湮灭算符记为 ,  产生算符记为  (从算符记号可以看到,  产生算符并不是湮灭算符的逆,  这说明产生后湮灭对系统是有影响的).

二次量子化的最简例子就是线性谐振子,  关于线性谐振子可以看我之前发的专栏.  解线性谐振子的方程可以得到系统能量为 ,  n≥0.  可以把 ħω 看作一份量子(quanta),  那么 n 则是系统的占有数,  当系统处于基态时能量为 0.5ħω,  占有数为0,  那么这时称系统能量为零点能(zero-point energy, 或真空能 vacuum energy).

线性谐振子的定态薛定谔方程为 ,  其中哈密顿算符 Ĥ 为  ,  记 ,  那么 Ĥ 为 ,  并且有 ,  于是得到 Ĥ 为 .

定义算符 ,  和它的共轭算符 ,  其中动量算符为 .  对两个算符变换坐标得到 ,  那么 Ĥ 重写为 .  结合上面讨论知道 表征着占有数 n,  于是得到占有数算符 .

由厄米多项式的递推关系可以得出线性谐振子特征函数的递推关系.  用狄拉克符号记定态薛定谔方程为 ,  根据上面的递推关系不难知道有 ,  于是得到算符 â 的作用是将系统减去一份量子,  而它的共轭是将系统加上一份量子,  所以分别称为湮灭算符和产生算符.  不难知道两个算符的矩阵表达为 ,  根据两算符的矩阵表达可以得到占有数算符的矩阵表达 .

由位置算符与动量算符的对易关系 [x̂,p̂] = iħ 知道,  湮灭算符和产生算符满足关系 ,  当满足这样的关系时,  则称这两个算符是玻色子算符.  另外,  如果满足关系  时,  则称这是费米子算符.  不难知道,  在上面的例子里,  所有量子都是处于 ħω 这个能量,  即符合玻色-爱因斯坦统计分布,  当算符为费米子算符时,  量子符合费米-狄拉克统计分布,  并遵从泡利不相容原理,  但这都是后话了.

摸了

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