【趣味数学题】抛物形求积
郑涛（Tao Steven Zheng）著
【问题】
在《抛物线求积》中，古希腊数学家、发明家阿基米德（Archimedes， 约公元前 287 年 - 212 年）用穷竭法（method of exhaustion）推得抛物形的面积。他首先在抛物形段（parabolic segment）内接最大面积的三角形（）。该方法继续使用更多三角形填充剩余空间，每个阶段的三角形数量增加一倍。阿基米德推得每个阶段三角形的总面积是前一阶段三角形面积的 1/4。如果
为最大三角形的面积（用黄色表示），
为抛物形段的面积，这两个面积比是多少？（求
）
【题解】
设 为大三角形的面积（
），
为抛物形的面积。设
为两个蓝色三角形的总面积，
为四个浅红色三角形的总面积，
八个深红色三角形的总面积。每个阶段的面积是前一阶段的1/4。所以
此过程无限继续，生成无穷等比级数：
这个等差级数的第一项是 ，公比是
。使用无穷等比级数公式得出：
所以，
因此，抛物形与最大三角形的面积比例是
【历史纵横】
阿基米德不知道无穷等比级数公式。他用反证法得出了结果！
