「数量关系」解题技巧（1）——摞饼法
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1．3图容斥题解题技巧：「摞饼法」
2．例题1：错误率57%的送分题
3．例题2：理解关系后就没有任何难度
4．例题3：老生常谈的「3图容斥」题
5．例题4：经典普通的「3图容斥」题
有这样一类题，它非常容易理解，计算难度也很低，理论上就应该是送分题，但是它的正确率非常低，这就是「3图容斥」题。相信通过下面的学习，所有的小伙伴都能把它做成属于自己的「送分题」。
一、3图容斥题解题技巧：「摞饼法」
「3图容斥」题往往和「3个区域代表图片的容斥、集合」有关，模型如下（以参加活动的人数为例）：
给出参加甲乙丙活动的人数、两种活动的人数和三种活动的人数，求总人数。其计算过程为：
总人数=（甲人数+乙人数+丙人数）-1×（两种人数）-2×（三种人数）
上面的公式基本上每个人都知道，但知道是不够的，能否理解才是关键。公考真题中关于此类题目经常有各种各样的变形，不会让考生那么舒服地去套公式，只有理解其原理，才能真正掌握此类题型。
此类题目可将甲、乙、丙3个区域视作3张「大饼」，则题干模型可视为3张「大饼」摞在一起，参加两种活动的人数「摞了2层」，参加三种活动的人数「摞了3层」。
因为要求的为「总人数」，即「只有一层大饼」，因此要去掉多余的层数。即：
两种活动→「2层」→应去掉1层
三种活动→「3层」→应去掉2层
即：
总人数=（甲人数+乙人数+丙人数）-1×（两种人数）-2×（三种人数）
通过「摞饼法」理解这个公式后，公考中此类题目都能轻松做对。
二、例题1：错误率57%的送分题
（2018421联考）联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。
假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
（A）12
（B）18
（C）24
（D）32
假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
（A）12
（B）18
（C）24
（D）32
正确率43%，易错项C
列出题干数据关系：
①24「冰」，30「蛋」，38「水」
②12「冰+蛋」，16「冰+水」，18「蛋+水」，6「三者都吃」
③所有人都吃了东西，求只吃一种食物的人数
本题毫无任何难度——既没有计算难度，又没有什么陷阱，就是一道非常非常普通的不能再普通的「3图容斥」题，然而错误率却超过了一半，说明很多考生根本没有思考过怎么去做容斥题。
在做这道题之前，各位小伙伴们请思考一下，总人数是多少？
相信大家都能马上说出总人数=（24+30+38）-（12+16+18）+6=92-46+6=52
也就是说，如果题目问的是「参加联欢会的总人数是多少」，那么本题可能会变成一道正确率超过90%的送分题。但是——
这个人数是怎么算的？是不是根据「容斥公式」来算的呢？如果是的话，那有没有理解这个公式怎么来的呢？
本题的问法也是非常基础的，和「参加联欢会的总人数是多少」没有任何区别，所不同的是几乎所有的考生都会去背「容斥原理公式」，但大部分考生却不会去了解这个公式怎么来的，不去研究容斥原理的本质，导致一个送分题变成了一半多考生 的丢分题。
所以，大家可以通过本题，了解容斥原理的本质，从而帮助自己100%拿下此类题目的分数。
本题结构图非常简单：
要理解容斥原理的本质，就要理解图中几个数值的关系。把吃过3种食品的人数视作3张大饼，当有人同时吃过多种食物时，3张大饼就铺在了一起。
当需要计算联欢会总人数时，先尝试3张大饼相加，得24+30+38=92。但3张大饼有重叠的部分，包括「同时吃过两种食物」和「同时吃过3种食物」两类。
此时：
「同时吃过两种食物」叠了2层
「同时吃过3种食物」叠了3层
为了求出「只有一层大饼的」的情况（即排除重复吃多种食物的人数），再尝试从92的总数里减去「同时吃过两种食物」的情况，即：
92-（12+16+18）=46
此时「同时吃过两种食物」的「饼」已经从2层减为1层，符合要求，但又出现了新的问题，即中间「同时吃过3种食物」每次都在减去「同时吃过两种食物」的步骤中都减掉1层，也就是说叠了3层的饼被减了3层，变成了0层。
因此需要加上「同时吃过3种食物」的情况，把大饼最中间恢复为1层，即46+6=52。
这就是「容斥原理」的本质——让所求的值只有「1层」，而不是多层或0层。
因此本题就很简单了，要求「只吃一种食物」的人数，因此可以先求「只吃冰淇淋」人数，首先尝试用「吃冰淇淋总人数」减去「冰+水」人数，再减去「冰+蛋」人数，如图：
此时「三者都吃」的区域被减为「-1」层，但题干要求是「0层」，因此要重新补充1层，所要求人数即为：
24-12-16+6=2
同理可知：
「只吃蛋糕人数」=30-12-18+6=6
「只吃水果人数」=38-16-18+6=10
因此「只吃一种食物人数」=2+6+10=18，B正确。
通过本题能够理解「3者容斥、集合」类题目的本质，从而对此类题目的变形也能从容应对。备考时不要怕在这种题目上花时间，绝对是物有所值的。
三、例题2：理解关系后就没有任何难度
【2015国考地市级卷65题／省级卷73题】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%，调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官网站获取信息，246人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用。
这次调查共发出了多少份问卷？
（A）310
（B）360
（C）390
（D）410
这次调查共发出了多少份问卷？
（A）310
（B）360
（C）390
（D）410
正确率49%，易错项B
列出题干数据关系：
①问卷回收率90%
②179「搜」、146「官」、246「社」
③115「3种」、24「2种」、52「都不用」
④求问卷总数
本题非常简单，根据题意可简单画出「回收的问卷」中各数据的关系：
3个圆及相交部分代表3种方式及共同使用多种方式的人数，右上角圆角矩形为不使用3种方式的人数。
可知3种方式相加后，蓝色箭头所指的位置有「2层」（需要减去1层），红色箭头所指位置有「3层」（需要减去2层），因此「回收问卷」的总数为：
（179+146+246）-24-（115×2）+52
=571-24-230+52=369
因此「问卷总数」=「回收问卷」÷90%
=369÷0.9=410，D选项正确。
本题除了三位数加法的运算之外没有任何难度。另外，该题4个选项差距不小，即使三位数加法算错了一点，也不会影响结果。这么简单的题目，依然有一半人做错，可见打好「数量关系」的基础非常重要。
简单画图后，就很容易理解相互间的关系。
四、例题3：老生常谈的「3图容斥」题
【2011国考74题】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？
（A）37
（B）36
（C）35
（D）34
三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？
（A）37
（B）36
（C）35
（D）34
正确率58%，易错项B
列出题干数据关系：
①52种产品
②8「低温」、10「可溶」、9「接缝」不合格
③两项不合格7种，3项不合格1种
④求3项全部合格的产品数
本题是老生常谈的「3图容斥」题，各位小伙伴一定要将其视作送分题来做。
很明显3种不合格产品的关系如下：
将3种不合格产品单独视为3张「大饼」，则3张「大饼」摞起来之后，：
蓝色区域的「两项不合格数」有「2层」，需减掉1层
棕色区域的「3项不合格数」有「3层」，需减掉2层
因此出现不合格产品的总数为：
「三种不合格数相加」-1×「两项不合格数」-2×「3项不合格数」
=8+9+10-7-2×1=18
「全部合格」=52-18=34，D选项正确。
基本平均每两年国考都会出现一道「容斥集合」类题目，每次这种题出现都有超过4成的考生做错，非常可惜。此类题就是送分题，一定要保证100%做出来、做对。
只要把3种单独的数据视为「大饼」，就很容易理解相互间的关系了。
五、例题4：经典普通的「3图容斥」题
【2010国考47题】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
接受调查的学生共有多少人？
（A）120
（B）144
（C）177
（D）192
接受调查的学生共有多少人？
（A）120
（B）144
（C）177
（D）192
正确率56%，易错项B
列出题干数据关系：
①63「注」、89「英」、47「计」
②24「三种都参加」，46「两种参加」，15「不参加」
③求总人数
本题是非常经典又普通的「容斥集合」题，没有任何难度。题干数据关系如下：
将注英计视作3张大饼，则：
两种参加相当于摞了2层，需减去1层
三种参加相当于摞了3层，需减去2层
因此参加考试人数=注+英+计-1×（两种参加）-2×（三种参加）
=63+89+47-46-2×24
=152+1-48
=105
总人数=参加人数+不参加人数=105+15=120，A选项正确。
「容斥集合」题已经是老生常谈，其原理简单，公式容易理解，一定要做对。
另外，虽然本题未涉及，但还是要注意「参加两种」和「参加不少于两种」的区别。
