【封面真好看】一文带你搞不懂维数——关于维数的一点评论

笔者经常碰到一类科普视频：“带你弄清一维到十维宇宙”、“一维到十维空间都是什么”。这些视频讲的内容都差不多，什么我们生活的宇宙是三维，加上时间是四维，再多一个时间维度，变成多重宇宙之后是五维……笔者对物理的了解不多，但知道的一点数学知识，因此在看这些视频的时候大受震撼——居然还可以这样胡扯。这篇文章也就是用笔者的一点数学知识来解释一下，维数到底是个什么东西。

这篇文章会大致分成两部分。第一部分解释在笔者知道的数学里面，维度是个什么；第二部分简单解释某些视频特别感兴趣的话题：宇宙的维数。因为笔者不想码字，所以省略了大部分术语的解释，而只是给出在哪里可以找到这些术语的解释。

一、论维度

“维度”，或“维数”，并不是一个出场次数很低的词。数学和物理里面经常会使用这个词；在科幻作品里面，这个词也很常见，总有那么几部小说或者电影里会出现“跨维度旅行者”之类的东西；甚至有些人会讲什么“思考的维度”、“一维的思考”之类听起来很有深度的词。根据第七版《现代汉语词典》，维度是几何学和空间理论的基本概念。这样一来，谈论什么是“维数”，必须先知道数学里面，什么是维数。

数学里面，对于“维数”并没有统一的定义。对不同类型的空间，维数的定义不同；对于相同类型的空间，也可能有好几种维数的定义。比如线性空间的维数[i]和流形[ii]的维数的定义不同，而对分形，上面定义了多种维数：Hausdorff维数、自相似维数、信息维、关联维数等[iii]。使用“维数”一词时，为了准确，在提到维数时一般说，“某某的（某）维数”。例如，“球面作为代数簇的维数[iv]”、“球面作为光滑流形的维数”、“球面作为流形的拓扑维数[v]”。在不会导致歧义的情况下，才会直接说某某的维数。

这里就会有两个问题：第一，这么多关于维数的不同定义，是怎么来的；第二，那些讲“一到十维空间”“宇宙的维数”的视频里面，“维数”到底是数学中众多维数中的哪一个。笔者先试着来解释第一个问题。笔者认为，大多数时候，维数的定义相当于用数学的方式表达了人的某种直观感受，并且很多时候，这种直观感受来自我们对平面和自己所处的空间的观察（对于同一个直观感受，也许在某一类空间上可以很轻松地转化为数学表达，但或许在另一类空间上就不能转化为数学表达，因此对不同空间，“维数”的定义方式不一定相同）。

举个例子，线性空间的维数可以看作这样一个观察：平面上的全部直线移动可以由往“北”和往“东”这2个方向走多远（允许负数路程的移动）唯一确定；而空间中的全部直线移动可以由往“北”、往“东”和往“上”这3个方向走多远（允许负数路程的移动）唯一确定。另一个例子是拓扑空间的拓扑维数，尽管它的定义有些费解，但也能归结成这样的观察：如果用无限多个圆形纸片盖住整个平面（允许重叠），那么一定有一个点被至少3(=2+1)个纸片盖住，而如果用无限多个球体覆盖住整个空间（允许重叠），那么一定有一个点被至少4(=3+1)个球体覆盖。

来看第二个问题，一些视频中，提到的“维数”究竟是哪个维数。事实上，在不指出视频大致内容的情况下，压根没办法回答这个问题。例如有关分形的视频会更喜欢介绍分形的自相似维数，而关于相对论的视频使用的则是流形的维数。因此，笔者会在下一部分回答这一问题。

二、宇宙的维数、高维空间

我们接下来看看一些科普视频特别感兴趣的话题：宇宙的维数、高维空间是什么。

这里就要问问，某些视频指的维数究竟是这么多种维数中的哪个。这就得看看有些视频说了什么：一些问，宇宙是几维的；另一些讲，四维空间是三维空间加上时间，五维空间是两条交叉的时间线。“宇宙”、“时间”这些东西，似乎是物理学关心的事情，于是我们大概能得出这样的结论：他们谈论的维度就是物理学使用的维度。那么我们接着问：物理学里面说的维度是什么？它是数学里面的哪个维度？

要回答这个问题，或多或少得涉及到物理看待世界的方式。按照笔者简单的世界观，物理可以分为理论和实验两个部分，研究理论的人在头脑种形成对世界的观念，并用数学的语言表述成物理理论，而做实验的人通过各种实际尝试来观察世界，并验证理论得出的结果。鉴于“维数”也是一个人创造的观念，我们有理由认为物理所说的维度就是物理理论中使用的维度，更具体来说，是物理中出现的数学对象的维数。

那么研究宇宙的时候出现了什么数学对象？它的维度又是多少？笔者对此了解不多，仅给出自己知道的几个例子。首先是广义相对论。相对论讨论的空间是一个带有一个伪黎曼度量四维流形。这里用到的数学对象是流形，维数的定义采用的就是流形的维数。不严谨地说，这个理论里面宇宙是4维的。另外笔者曾经阅读过有关弦论的简单介绍。弦论的基本模型是四维闵氏时空和一个六维黎曼流形的笛卡尔积[vi]。这里的维数是10，也是流形的维数。所以可以认为，有些视频中提到的维数就是流形的维数。

这样，笔者或多或少能解释宇宙是几维的了。在牛顿的理论下，宇宙是三维的（如果将时间考虑进来的话，是四维的）；在广义相对论中，宇宙是四维的；在弦论中，宇宙是十维的。那要是问，现实中的宇宙是多少维的？不知道。因为笔者不认为物理理论完美地反映了现实。

来看另一个话题：高维空间是什么。因为已经理清楚了，这里的维数是流形的维数，所以答案很简单，高维空间就是高维流形。大约是因为我们无法亲眼见到四维空间的缘故，很多人对高维空间充满了敬畏，甚至有人觉得高维空间是形而上学谈论的内容，说什么“神其实就是高维生物”。不过仔细想想，高维空间的概念并没有超出“人”的范畴。首先，“维数”这个概念是人的观念，“高维空间”也是人的观念。换言之，“高维空间”完全是人想出来的。既然人可以想出来，那又关神什么事呢？

另外，高维空间也不是什么稀罕玩意。举个例子，假如有一个一丝不苟的气象员，想要知道地球上每一点的温度。这时候，对于气象员来说，一个点需要用四个数据来描述：三个数据（比如经、纬度和海拔）描述点的位置，一个描述点的温度。那么对气象员来说，他眼中的点其实是一个四维流形中的点（地球上所有点构成了一个三维的子流形）。要是气象员再认真一些，想弄清楚每一个点处的风向和风力，那么他需要七个数来准确描述一个点（三个数描述位置，一个描述温度，三个描述风向和大小）。这时候，气象员眼中的一个点就是七维空间中的点。

三、一点评论

据笔者对维度的理解，笔者并不认为上面提到的一些视频能被称作科普。它们介绍的内容不是科学，它们的目的也不是普及。它们讲一些不知所云的东西，让听得云里雾里的观众误以为是硬核的知识并点赞。这样的行为，让笔者很难不怀疑，所谓的科普不过是这些视频的获取流量的一个幌子罢了。

[i] 这里可以参考任何一本线性代数的教材，比如丘维声编写的《高等代数（上）》（2002年7月第2版）第80页（笔者最初看的有关线性代数的书是复旦大学出版社2018年9月第3版的《高等代数学》，维数的定义在133页）。

[ii] 流形以及流形的维数的定义可以参考任何一本微分流形的教材，如陈省身和陈维桓写的《微分几何讲义》，2001年10月第二版。

[iii] 这里参考的是王东生、曹磊在1995年编写的《混沌、分形及其应用》，第140-143页。

[iv] Miles Reid写的Undergraduate Algebraic Geometry中在第三部分给出了古典代数几何中代数簇的维数的定义。

[v] James R. Munkres写的，熊金诚、吕杰、谭枫翻译的《拓扑学》中“维数论导引”这一小节中给出了拓扑空间的拓扑维数的定义。

[vi] 在这一篇：Cavalieri, R., & Miles, E. (2016). Does Physics Have Anything to Say About Hurwitz Numbers? In Riemann Surfaces and Algebraic Curves: A First Course in Hurwitz Theory的第172页(doi:10.1017/CBO9781316569252.015)