2022年高考全国甲卷＆新高考Ⅱ卷导数大题

2022-06-09 12:34 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

今年高考题想必大家都已经看过了，up只看了导数题，然后挑了两个简单的做了一下，就是全国甲卷的和新高考Ⅱ卷的。

其实今年甲卷的导数题难度并不大，只不过一开始up也没想到方法，看了别人的提示后才做出来。那么本期就来详细解析一下今年的全国甲卷和新高考Ⅱ卷的导数题吧

全国甲卷

题目：已知 $f(x)%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D-%5Cln%20x%2Bx-a$

若 $f(x)%5Cge0$ ，求 $a$ 的范围；
若 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1%2Cx_2$ ，求证 $x_1x_2%3C1$ .

读者可以先试着自己做一做

那么，下面正式开始了

第一问

这一问没什么难度，先求导，得

$f'(x)%3D%5Cfrac%7B(x-1)e%5Ex%7D%7Bx%5E2%7D-%5Cfrac1x%2B1$

令 $f'(x)%3D0$ ，得

$(x-1)(e%5Ex%2Bx)%3D0$

即解得 $x%3D1$ ，又由于 $f''(1)%3De%2B1%3E0$ ，所以 $f(x)%5Cge%20f(1)%3De%2B1-a%5Cge0$ ，因此 $a%5Cle%20e%2B1$ .

第二问

首先不妨假设 $x_1%3Ex_2$ ，引入一个熟知的不等式，叫做对数均值不等式（ALG inequality）

$%5Csqrt%7Bx_1x_2%7D%3C%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B%5Cln%20x_1-%5Cln%20x_2%7D$

作为一名善良的人道主义者（雾），这里还是会先证明这个不等式，令 $z%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%3E1$ ，可以将上式转化为证明

$g(z)%3D%5Csqrt%20z-%5Cfrac1%7B%5Csqrt%20z%7D-%5Cln%20z%3E0$

由于

$%5Cbegin%7Balign%7Dg'(z)%26%3D%5Cfrac1%7B2%5Csqrt%20z%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Csqrt%7Bz%5E3%7D%7D-%5Cfrac1z%5C%5C%26%3D%5Cfrac1%7B2z%7D%5Cleft(%5Csqrt%20z%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt%20z%7D-2%5Cright)%5Cge0%5Cend%7Balign%7D$

上式仅当 $z%3D1$ 时取等，因此 $g(z)%5Cge%20g(1)%3D0$ ，而 $z%3E1$ ，所以 $g(z)%3E0$ ，然后就完成了对数均值不等式的证明。现在回到题目，有

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_1%7D%7D%7Bx_1%7D-%5Cln%20x_1%2Bx_1%3Da%5C%5C%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_2%7D%7D%7Bx_2%7D-%5Cln%20x_2%2Bx_2%3Da%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

由此可得

$%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_1%7D%7D%7Bx_1%7D-%5Cln%20x_1%2Bx_1%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bx_2%7D%7D%7Bx_2%7D-%5Cln%20x_2%2Bx_2$

稍微变换一下，得到

$e%5E%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1-%5Cln%20x_1%7D%7D%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1-%5Cln%20x_1%7D%3De%5E%7B%5Ccolor%7Bblue%7D%7Bx_2-%5Cln%20x_2%7D%7D%2B%5Ccolor%7Bblue%7D%7Bx_2-%5Cln%20x_2%7D$

根据 $e%5Ex%2Bx$ 的单调性可知

$x_1-%5Cln%20x_1%3Dx_2-%5Cln%20x_2$

由此可得

$x_1x_2%3C%5Cleft(%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B%5Cln%20x_1-%5Cln%20x_2%7D%5Cright)%5E2%3D1$

Q.E.D.

嗯，相信读者看完后也会觉得很简单吧。那么不妨再来看一道题吧

新高考Ⅱ卷

题目：已知 $f(x)%3Dxe%5E%7Bax%7D-e%5Ex$

当 $a%3D1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
当 $x%3E0$ 时，若 $f(x)%3C-1$ ，求 $a$ 的范围
设 $n$ 为正整数，求证 $%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B1%5E2%2B1%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B2%5E2%2B2%7D%7D%2B%5Cdots%2B%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7Bn%5E2%2Bn%7D%7D%3E%5Cln(n%2B1)$

同样，读者可以先试着自己做一做

第一问

直接导，得

$f'(x)%3Dxe%5Ex$

显然当 $x%3E0$ 时 $f(x)$ 单调递增， $x%3C0$ 时单调递减，有极小值 $f(0)%3D-1$

第二问（非常规解法）

此方法千万不能在高考使用

先分参，得

$a%3C%5Cfrac%7B%5Cln(e%5Ex-1)-%5Cln%20x%7D%7Bx%7D%3Dg(x)$

将它稍微改写一下

$%5Cbegin%7Baligned%7Dg(x)%26%3D1%2B%5Cfrac1x%5Cint_0%5Ex%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5Et-1%7D-%5Cfrac1t%5Cright)%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D1%2B%5Cint_0%5E1%5Cleft(%5Cfrac1%7Be%5E%7Bxt%7D-1%7D-%5Cfrac1%7Bxt%7D%5Cright)%5Cmathrm%20dt%5Cend%7Baligned%7D$

求导，得

$g'(x)%3D%5Cint_0%5E1t%5Cleft%5C%7B%5Cfrac1%7Bx%5E2t%5E2%7D-%5Cfrac%7Be%5E%7Bxt%7D%7D%7B(e%5E%7Bxt%7D-1)%5E2%7D%5Cright%5C%7D%5Cmathrm%20dt%3D%5Cint_0%5E1%20tp(xt)%5Cmathrm%20dt$

其中

$p(z)%3D%5Cfrac1%7Bz%5E2%7D-%5Cfrac%7Be%5E%7Bz%7D%7D%7B(e%5E%7Bz%7D-1)%5E2%7D$

有 $p(z)%5Cge0%5Cquad(z%3E0)%20%5CRightarrow%20g'(x)%5Cge0%5Cquad(x%3E0)$ ，因此欲证 $g'(x)%5Cge0$ 只需证明

$%5Cfrac%7Be%5Ez-1%7Dz%5Cge%20e%5E%7Bz%2F2%7D$

将它们展开为幂级数，即可得

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Cfrac%20%7Be%5Ez-1%7Dz-e%5E%7Bz%2F2%7D%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7B(n%2B1)!%7D-%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7B2%5En%5Ccdot%20n!%7D%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft(%5Cfrac1%7Bn%2B1%7D-%5Cfrac1%7B2%5En%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bn!%7D%5Cend%7Balign%7D$

因为 $n%5Cge1$ 时总有 $2%5En%5Cge%20n%2B1$ ，因此 $z%5Cge0$ 时 $p(z)%5Cge0$ ， $z%3D0$ 时取等，也就是说 $a$ 需要小于等于 $g(x)$ 在 $x%5Cto0%5E%2B$ 时的极限，有

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cln(e%5Ex-1)-%5Cln%20x%7D%7Bx%7D%26%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cln(1%2B%5Cfrac12x%2Bo(x%5E2))%7D%7Bx%7D%5C%5C%26%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac12x%2Bo(x%5E2)%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac12%5Cend%7Baligned%7D$