每周一题：丢失的袜子（附上周答案）
本期题目：丢失的袜子
题目来源：new scientist
大老李的洗衣机会“吃”袜子，每洗一次后，总是会丢一只袜子（大老李深有体会！）。上周，大老李丢了所有袜子，只好新买了三双。每次我总是把所有袜子丢进洗衣机一起洗。
那么，洗过三次之后，剩下三只单独袜子的概率是多少？或者说，大老李剩下至少一双完整的袜子的概率是多少？
请直接留言或发邮件至：dalaoliliaoshuxue @gmail.com 解答
加餐题：立方体的最大投影面积
题目来源：new scientis
大老李闲来无事，拿了一个骰子在太阳底下玩，我发现这个骰子在地面上能投下的阴影最小面积是一个正方形，面积为1平方米。
请问：这个骰子能在地面投下的阴影面积最大是多少？
请直接留言或发邮件至：dalaoliliaoshuxue @gmail.com 解答
上周题目：书本的排列
书架上有六本数学书，六本语文书，四本英语书。每种科目的书都是一样的。问：把他们从左到右排成一排，共有多少种不一样的排法？
答案: 1681680 。
一种思路是先计算所有16本书的全排列数，为 16!。
在以上计算中，再去除其中重复计算的次数。考虑到有6本数学书，全排列数为6!，则排除因数学书排列造成的重复，应将16!除以6!。
同样思路，则可知总的排列数为：
16! / (6! * 6! * 4!) =1681680
上期加餐题：德国坦克问题
二战中，英军情报人员得知，德国人生产某一批次坦克时，会对每一辆坦克进行标号，编号范围从1到N。某次，前线人员俘获德国某同一批次坦克四辆，其编号分别为：19，40，42，60。为这一批次，德国人最可能生产了多少量坦克？提示：此题用数学语言描述是：从1到N个数字中，进行4次随机（不重复）采样，得到19，40，42和60这四个数字，问：如何估计N的大小？
答案：这是一道经典问题 ，很多朋友采用“期望值”估计法，即：
因为样本均值为40.25，而总体均值为(1+N)/2，因此可以推出N≈79.5.
但实践中更准确的是“频率论”的方法，记m为最大序号，k为采样次数， 则估计公式为：
按“贝叶斯分析”，则可求出N的估计函数为：
则可以得出以下估计：
此题内容并非杜撰，而是历史史实。以下摘自“维基百科”：
在战争的过程中，西方盟国一直在努力确定德国的生产速度，并以两种主要方式得到这个数据：常规情报收集和统计估计。大部分情况下，统计估计的可信度很大程度上决定于常规情报收集。而有时常规情报收集会和统计估计一起结合使用，如在D日前夕估计豹式坦克的生产速度。
盟军指挥机构已经注意到了出现在意大利的[五号坦克]（豹式坦克），速度快，装备有75 mm/L70长管战车炮，是很不寻常的重型坦克，但在法国北部编号就很小，就和[虎I坦克]在突尼斯那样。由于[谢尔曼坦克]在对阵[三号坦克])和[四号坦克]时表现良好，美国陆军对它非常自信，以至于迫不及待地希望与他们相遇。就在D日的不久前，有消息称德国手中有大量的五号坦克。
为了确定这种说法的真实性，盟军要尝试估计正在生产坦克的数量。为此，他们要使用被缴获或被摧毁的坦克的序列号。他们主要使用变速箱的号码，因为其为两个完整的序列。底盘和发动机号码也有使用，但它们的编号规则比较复杂。各种其他的零件用来对分析结果进行交叉检查。对轮胎也做了类似的分析，其上观察到了顺序编号（即1、2、3、……、N)。
对坦克车轮的分析产生了对使用中的车轮模具数量的估计。在与英国车轮制造商讨论过后，他们估计了这么多的模具可以生产多少车轮，进而是每个月可生产的坦克数量。对两辆坦克（每辆32个车轮，总计64个车轮）车轮的分析的结果是1944年2月的生产数量估计在270左右，大大超出此前预期。
德国战后公布的记录显示，1944年2月一个月的生产量是276辆。统计方法结果的精确度是常规情报收集方法所远远不能达到的，而“德国坦克问题”这个词也成为了这种统计分析问题的标志。
估计产量并不是这种序列号分析的唯一应用。它也用于探查更多德国生产的信息，包括工厂数目、工厂的相对重要性、供应链长度（基于生产和使用之间的滞后程度）、生产工艺的改变、及对诸如橡胶等资源的使用。
大老李考虑将来用音频专门讲解一次这个话题。
关注“大老李聊数学”公众号：dalaoli_shuxue
