（圆锥曲线）内准圆

2022-08-20 16:12 作者:因恋相思久 0人读过 | 我要投稿

已知椭圆 $%5CGamma%20%EF%BC%9A%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7Ba%5E2%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D1$ 的离心率为 $%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20$ ，且其右顶点到右焦点的距离为1

（1）求 $%5CGamma%20$ 的方程

（2）点M，N在上 $%5CGamma%20$ ，且 $MO%E2%8A%A5NO%EF%BC%88O%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%89$ ，证明存在定点 $P$ ，使得到直线MN的距离为定值

（1）由题意得： $%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20$ ①, $a-c%3D1$ ②

联立①②解得 $a%3D3%EF%BC%8Cc%3D2$

所以 $b%5E2%3D%20a%5E2-%20c%5E2%20%3D5$

所以 $%5CGamma%20$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B9%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B5%7D%20%3D1$

（2）

当直线MN斜率存在时

设 $M%EF%BC%88x_%7B1%7D%2C%20y_%7B1%7D%20%EF%BC%89%2CN%EF%BC%88x_%7B2%7D%2C%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFMN%EF%BC%9Anx%2Bmy%3D1$

因为 $MO%E2%8A%A5NO$ ，所以 $k_%7BMO%7D%20k_%7BNO%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%20%7D%7Bx_%7B1%7D%20%7D%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7By_%7B2%7D%20%7D%7Bx_%7B2%7D%20%7D%20%3D-1$

下面进行齐次化：

$%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B9%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B5%7D%20%3D1$ 与 $nx%2Bmy%3D1$ 联立有

$%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B9%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B5%7D%20%3D%EF%BC%88nx%2Bmy%EF%BC%89%5E2$

$%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B9%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B5%7D%20%3Dn%5E2%20x%5E2%2B2nmxy%2Bm%5E2%20y%5E2%20$

整理得 $%EF%BC%88%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D-m%5E2%20%EF%BC%89y%5E2%20-2nmxy%2B%EF%BC%88%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%20-n%5E2%EF%BC%89x%5E2%3D0$

即 $%EF%BC%88%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D-m%5E2%20%EF%BC%89%EF%BC%88%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20%EF%BC%89%20%5E2-2nm%EF%BC%88%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%20-n%5E2%3D0$

所以 $%5Cfrac%7By_%7B1%7D%20%7D%7Bx_%7B1%7D%20%7D%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7By_%7B2%7D%20%7D%7Bx_%7B2%7D%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D-n%5E2%20%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D-m%5E2%20%7D%20%3D-1$

有 $m%5E2%2B%20n%5E2%3D%5Cfrac%7B14%7D%7B49%7D%20$

设O到直线MN距离为d

则 $d%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bm%5E2%2Bn%5E2%7D%20%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%5E2%2Bn%5E2%7D%20%7D%20%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B45%7D%7B14%7D%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B70%7D%20%7D%7B14%7D%20$

此时存在定点 $P%EF%BC%880%2C0%EF%BC%89$ ，使得到直线MN的距离为定值 $%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B70%7D%20%7D%7B14%7D%20$

当直线MN斜率不存在时

设直线 $MN%E4%B8%BA%EF%BC%9Ax%3Dt%EF%BC%8CM%EF%BC%88t%2C%20y_%7B1%7D%20%EF%BC%89%2CN%EF%BC%88t%2C%20-y_%7B1%7D%20%20%EF%BC%89%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%20%EF%BC%9E0$