单摆的运动方程如下，

其中  ，  为摆长。一般在讨论小角摆动时，我们会近似认为 ，从而简化成简谐运动的方程。但本文选择严格求解原方程。

首先，两边同乘以 ，

上式可以写成全导数的形式，

这样就能轻松完成第一次积分，

假设单摆是从  处自由释放，即初始条件为，，，由此可以定出积分常数，

代回方程可得，

开根整理后变为，

其中 。由对称性可知，单摆从最低点到达最高点的时间为  个周期，我们选择这段运动进行积分，

令  ，变换后  对应的积分区间为 ，对两边求微分，

整理可得，

积分变为，

利用第一类完全椭圆积分，

可以把单摆的周期表示为，

利用级数展开，

将  中的被积函数展开为，

于是问题转化成了对每一项的积分，

详细积分过程见后文附录，其结果为，

于是，我们得到了第一类完全椭圆积分的级数解，

代回周期公式，

在小角近似下，只保留第一项，

附录

计算积分，

以下提供两种求解方法。

1. 递推公式

首先计算前两项，

对于  可进行如下计算，

利用分部积分，

递推公式为，

分奇偶讨论，

2. Beta 函数

利用 Gamma 函数的定义，

令 ，

做这个变量替换的目的是方便转换到极坐标，

由此可以定义 Beta 函数，

根据定义，

进一步计算需要利用 Gamma 函数的如下性质，

分奇偶讨论，