如果说唯一环是从形状进行拓展，那么接下来的结构就是从数字进行拓展。

Part 1 标准类型（XR Type 1）

如图所示，它把唯一矩形变为了三数的结构了。虽然看起来和唯一矩形很相似，不过推理逻辑和唯一矩形就不太不一样了。

如果r3c1只有1和5的话，我们将会得到r357c13这六个单元格有且仅有1、3、5。我们假设r357c1已经填入了数字，就暂时假设为a1、a2和a3；同理，我们假设r357c3填入的数字是b1、b2和b3。

我们先不用去管具体这些字母都代表了什么数字，但我们可以将填入的数值进行下标相同的置换（说白了就是a1和b1交换，a2和b2交换，a3和b3交换），这样可以让数字对位替换到另外一边，比如针对于r5c13而言，上述的交换就相当于把原来r5c1填的数字替换到r5c3上去；而把r5c3的原本的填数换到r5c1上。

实际上，这种交换没有任何的意义，但是可以看到，这个结构只涉及r357c13b147这8个区域，而这8个区域都不会因为刚才的交换而改变其它的候选数信息，毕竟刚才的交换，只是这6个单元格内部的交换，而交换的数据对于这8个区域来说全部都是数对数组形式，这便回到了UR的形成致命形式的论证过程：在结构所有涉及的区域上都产生了独赢的数对数组形式，而仅仅是这些数对数组的删数，而不会对其它任何的单元格造成任何填数的影响（其它的单元格的填数状态和候选数数据信息全部是一致的）。如果题目唯一解，就不会产生这种现象：因为唯一解的题目，对于每一个单元格而言，都只能有唯一的一种填数情况，显然这6格就已经不满足要求了：其余单元格的候选数状态信息完全是一致的，所以这些位置的填数不论是否是唯一的，就看r357c13而言，就无法使得题目唯一解，违背唯一解的要求。所以，原假设不成立，即r3c1只能填入6。

这个技巧将唯一矩形进行了拓展，因而成为拓展唯一矩形，简称拓展矩形（Extended Rectangle，简称XR，但该技巧很少用简称，除非是一些必须简化名称的地方才会使用）。不过一些资料里依然称这个结构为唯一矩形。

Part 2 区块类型（XR Type 2）

如图所示，如果r46c9(5)同时消失的话，r46c269将只剩下7、8、9，形成拓展矩形的致命形式，所以r46c9(5)必须至少有一个是对的填数，而由于它们同宫，所以组成区块，删除r5c9(5)。

Part 3 数组类型（XR Type 3）

如图所示。这个例子希望你自行理解和推理。它只是将拓展矩形和UR的数组类型并在一起使用了，你可以试试看。提示一下，这个例子里使用的是带隐性数对的数组类型。

Part 4 共轭对类型（XR Type 4）

如图所示，我们可以聚焦于r46c368六个单元格。可以看到，其中r46c68四个单元格只含有1、2、7；而c3存在r46c3(1)的共轭对。此时我们就可以这么想：因为r46c3(1)必须有一个是正确的数字，那么这两个单元格里的另外一个单元格就不能填入7，否则两个单元格形成1和7的显性数对结构，并和旁边r46c68组成拓展矩形，并形成关于1、2、7的致命形式，即r4c368的填数就可以上下交换，放到r6c368里；同理，r6c368的填数就换到r4c368来，于是出现致命形式。所以为了规避致命形式的出现，r46c3 <> 7。

Part 5 胖矩形和瘦矩形（Fat XR & Fit XR）

如图所示，这一则示例里，它不太像是前面的两则示例，因为它好像是把矩形结构“旋转”了一下，放在了两个宫里。但是推理的逻辑则是完全一样的。

我们假设r13c3(9)全部消失于盘面里（即当它们不存在），而假设r123c3的填数分别是a1、a2和a3；而假设r123c7的填数分别是b1、b2和b3。然后我们发现，这个结构涉及r123c37b13七个区域，而这七个区域下，如果我们将下标相同的数值交换一下，只是将这7个区域的数组结构内部的填数进行了交换，而不会影响外部的填数情况和候选数信息。所以这便产生了两种填法，违背了唯一解的要求，进而产生矛盾。

所以为了规避这一点，我们的假设就错误了，即r13c3(9)不能同时消失于盘面里，它们俩必须至少有一个9是对的。

这种构型好比是旋转了矩形，但推理和拓展矩形的思路和逻辑完全一样，所以也算作一种拓展矩形的变体。

我们再来看一则这样长的矩形的示例。

如图所示。如果r89c7两个单元格都只有1、4、8的话，显然这两列的填数是可以左右互换的，所以产生了致命形式，这样填是不行的。

但是反过来，如果两个单元格都只有2和3的话，显然也不行，因为c7上还有一个单元格只有2和3，如果r89c7都只有2和3了，则这两个单元格显然就构成了数对形式，而上面r2c7就无法填数了，所以也矛盾了。

因此，我们不得不拿出r89c7的其中一个单元格，让它只能填入数字2和3。这样一来，r2c7就只有2和3，与之将产生数对结构，所以c7其余单元格都不能填入2和3，删掉它们。

Part 6 8格的XR

如图所示，我们假设r8c1只有候选数6和7，则就可以按照假设填数的方式，然后产生左右交换，进而对于结构涉及的r1358c12b147这些区域里产生“交换也不会影响数对数组”的违背唯一解要求的现象，进而形成致命形式，产生矛盾。所以r8c1 <> 67。

Part 7 10格的XR

和上一则示例的推理思路类似，假设r67c4(5)同时不存在的时候，填数则可以左右交换，然后产生致命形式，然后矛盾。所以r67c4(5)至少有一个成立，那么就可以当作一个广义的区块那样，删除所在行的其余位置的5。

Part 8 12格的XR

这一则示例的推理逻辑完全一样，只是这一次是横着看，上下交换。

Part 9 14格的XR

如图所示，最后这一则例子可以发现，结构基本上已经占满了c12。不过推理方式类似，假设数值，然后左右交换。

Part 10 原理进一步剖析

10-1 拓展矩形必须涉及偶数个单元格吗？

显然，我们可以说明的是，这是一句废话。因为结构不可能缺少任意一个可以形成矩形形状单元格，否则根本没办法进行上下或左右的交换操作。

10-2 为什么例子左右或上下对应位置的候选数完全一样？

这个巧合实际上并非是一种巧合，这个结构实际上只是通过对应位置交换而产生的结构，而这个结构的候选数的情况仅仅需要看所处行列的填数信息；而可以仔细观察所处行列，这些数字都是一样的，所以它们的候选数情况基本上是一样的。

10-3 拓展矩形最大能涉及多少个单元格？

实际上，拓展矩形和唯一环有着些许关联，比如这个问题。答案和唯一环完全一样，也是14。原因也很相似：如果是18，则这两行或两列就没有任何的确定值了。换句话说，这两行的填数就一定能上下或左右直接置换，所以这种情况必然是两种填法。

而如果是16的话，则意味着有一对是确定值，上下或左右对应起来；而要使得数字上下可以完全交换，这两个对应的数字就必须是一样的，才能使得剩余的空格上下或左右置换，而这种情况显然不可能，毕竟对应的填数是一样的，这便违背了同一行列有相同数字的规则。

所以，综上，最多的情况是14。

技巧信息

拓展矩形的所有类型都和唯一环的所有对应类型的难度计算方式相同。

名词解释

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