[高一数学寒假4]余弦定理初步

△ABC中，∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，∠C所对的边为c(图就自己画了哈)

• 当∠A∈(0，π/2)时，如视频所示的证明即可
• 当∠A=π/2时，由b²+c²-2bccosA得b²+c²=a²成立
• 当∠A∈(π/2，π)时，以平面直角坐标系原点为起点，x轴正半轴做边AB，逆时针旋转边AB，终边AC落在第二象限内(图还是自己画哈，没法插入图片)

过c点做CD垂直于x轴负半轴，垂足为D，将AD连接，则

• RT△ACD中

AD=bcos(π-A)=—bcosA

CD=bsin(π-A)=bsinA

• RT△BCD中，有BC²=BD²+CD²，即

a²=(AB+AD)²+CD²=(c-bcosA)²+(bsinA)²=

c²-2bccosA+b²cos²A+b²(1-cos²A)

=c²-2bccosA+b²cos²A+b²-b²cos²A

=b²+c²-2bccosA

综上，当A∈(0，π)时，都有a²=b²+c²-2bccosA成立

同理，也有b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC成立