【初中数学】《圆》基础与考点自学合集|零基础福音|持续更新
1.【知识】圆的定义
1.1 圆
圆是一种图形，是一个轴对称图形。对称轴为直径所在直线。无数条
（人教版有时把半径写为R，本笔记均以r称）
如图24.1-3
得出圆上的点到圆的距离相等，都为r
1.2 共线
反过来，
如果有若干个点，它们到同一个点的距离相等，那么这若干个点它们在同一个圆上。——即共圆。
我们可推出任何的矩形的四个顶点一定在同一个圆上。（连接对角线）
1.3 圆的确定
那么，怎么才能确定一个圆呢？
一个点肯定不行，两个点也不行，三个点呢？
我们可以引出另一个定理。
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
1.4 弦/弧
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径为最长的弦
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧
半圆为圆的一半
等圆/同圆
等圆：如果两个圆可以重合，那么我们称其为等圆，两个圆的半径相等，反之，如果两个圆半径相等，那么这两个圆为等圆。
同圆：顾名思义，同一个圆。
等弧：在同圆或者等圆中能够重合（长度相等）的弧称为等弧。
2【知识】垂径定理
在圆中任意找一条直径，过圆上一点作垂线。
由OA=OA'，OT=OT知
Rt△AOT≌Rt△A'OT（HL）
∴AT=A'T
OT⊥AA'
A，A‘关于直径对称
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。（可以反推）
反推的结论：一条弦（不是直径）的中点的垂线一定经过圆心。垂线为直径/对称轴
习题如下。
3.【知识】圆中的弧，弦，角
3.1 圆心角/圆周角
圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角
在同圆/等圆上，若两个圆心角度数相等则对应的弧长相等（通过旋转证明）
反推得出
在同圆/等圆上，若两个弧长相等相等则对应的圆心角相等（也通过旋转证明）
圆周角：顶点在圆上的角叫做圆周角
3.2 圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明：
用外角证明
连接op，燕尾型
连接op反向延长。
可得
半圆/直径所对的圆周角是直角
同弧或等弧所对的圆周角/圆心角相等
3.3 弧/弦/圆心角/圆周角的统一
在同圆/等圆中，弦相等，圆心角相等，弧相等。
大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示
小于半圆的弧叫做劣弧/弧，用两个点表示
4【知识】圆的内接四边形（含四点共圆）
如果一个四边形的四个点在同一个圆上，那么我们称这个四边形是圆的内接四边形
性质1：圆内接四边形的对角之和等于180°
证明：圆周角定理。360/2
推广结论
∠2=∠5
性质2：同弧所对的圆周角相等
四点共圆的判定
1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆.
2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。
（摘自百度百科，实在不会表述）
5【知识】点线面的位置关系
5.1 点
设⚪O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外⇔d>r
点P在圆上⇔d=r
点P在圆内⇔d<r
前面已经说过
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
那么，如果给出（不共线）三个点，怎么画圆呢
连接其中两条线段，作垂直平分线，交点即圆心（线段的垂直平分线上的点到线段两边的距离相等）有且仅有这一个圆心。
5.2 线
没有公共点
一个公共点
两个公共点
6【知识】圆的切点与切线
圆的切线：圆的切线垂直于经过切点的半径。
即，切点于圆心连接的半径垂直于过该切点的切线
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平方两条切线的夹角
拓展：此时两个切点的连线与此平分线垂直（全等）
内切圆：在一个图形内，一个圆与图形每条边相切，我们说这个圆是这个图形的内切圆。每个三角形都有内切圆。圆心为其内心（Incenter），三角形三条内角角平分线的交点叫三角形的内心。
外接圆：一个平面图形的顶点在都一个圆上，这时我们说这个圆是这个图形的外接圆
7【知识】正多边形与圆
7.1正多边形
所有的正多边形都有外接圆
因为正多边形的中心到顶点的距离相等
7.2 中心角&边心距&内角度数
中心角的计算公式：360/n
边心距：圆心到弦长中点的距离
内角度数:(n-2)×180°/n
例题如下
8【考点】垂径定理的食用策略
①垂直⊥
当直径垂直于一条弦时
②中点
当弦的中点出现时
例题如下
（2020武汉）
竞赛
完结撒花\(@^0^@)/
