Petr–Douglas–Neumann定理的介绍

一、总述
 Petr–Douglas–Neumann定理？？一个这么长的名字，你可能要问怎么会有这么奇怪的定理。。。但他的名字就是这样（比我曾经接触过的高斯·波登米勒定理还要长）
百度百科是这样介绍的：

“佩特-诺伊曼-道格拉斯定理（Petr–Douglas–Neumanntheorem）也称为PDN定理，是几何学中有关平面多边形的定理

此定理证明，对于任何多边形，都可以依定理中的作法找到一正多边形，其边数恰和原来的多边形相同。佩特诺-伊曼-道格拉斯定理最早是由卡瑞尔·佩特诺（1868–1950）1908年在布拉格提出。1940年及1941年时也分别被杰西·道格拉斯（1897–1965）和伯恩哈德·诺伊曼（1909–2002）独立证明。此定理由StephenBGray命名为佩特-诺伊曼-道格拉斯定理，或简称为PDN定理，有时也被称为道格拉斯定理、道格拉斯-诺伊曼定理、诺伊曼-道格拉斯-佩特定理或佩特定理。”
那么这种变换方式是什么呢？在这里给出一种表述：
对于一个n边形，首先以每一条边为底边向外构造顶角为360°/n的等腰三角形，将这n个顶点构成的n边形以每一条边为底边向外构造顶角为720°/n的等腰三角形，再将这n个顶点构成的n边形以每一条边为底边向外构造顶角为1080°/n的等腰三角形······（总之就是不断地套娃）
这样操作（n-2）次后，所得到的n个顶点构成的n边形是正n边形。特别地，如果顶角是180度，视为取中点，顶角大于180度，视为反向作等腰三角形，如果开始是向内做同理。说实话，这种方式十分新奇，十分令人难以接受。。
在本篇学术墙里给出PDN定理的3元、4元、5元证明，请继续往下看→
二、3、4元证明
PDN定理的3元形式是这样的，一个三角形，以每条边向外或向内作120°的等腰三角形，所得到的三个顶点构成等边三角形
这个定理的本质是拿破仑定理（详情可以参见早期的学术墙），在这里不予证明，但有一个关键的性质：拿破仑三角形的中心是原三角形的重心

PDN定理的4元定理类似，指一个四边形，以每条边向外或向内构造等腰直角三角形，这四个顶点连线构成的四边形的中点四边形是正方形（下图中的红色正方形）
值得注意的是，下图中标黄的两条虚线是这个中点四边形对应四边形的对角线，图中把等腰直角三角形补成了正方形，这又是一个著名的定理：凡·奥贝尔定理，即这四个正方形的中心连线垂直且相等（图中的黄色虚线）再由中点四边形性质可以得到结果，当然这个正方形的中心依然是这个四边形的重心

三、5元证明的引理
由于在高于5元时，我并没有想到什么好的几何做法（如果同学们哪一位想到了也可以来投稿，稿费面议，如果有下一期给你专门出一个学术墙，参考文献就写你的聊天记录或亲笔过程），我选择的研究方法是复数，那么用复数怎么解决等腰三角形的问题呢？
实际上，问题是复平面内两个点，所连线段向外做等腰三角形，求顶点的复数坐标
我将用z1和z2代替这两个复数点，所以参照复数的几何意义得到两点之间的向量的表达，通过乘一个模长为1的复数，达到旋转的目的（当然这个也是一个单位根），在乘一个倍数使模长对应，在通过加上其中一个复数达到平移的目的（可能我做的有点复杂了，但这是我能想到的最合理的方式），如下图，再做一个对称化处理就很好看了：

接下来便是一步步复杂的迭代运算（可以采用我下面展示的方式，也可以用单位根的形式，单位根可能更清楚一点，只需比较系数即可）

最后一次迭代，下面只给出了一个点：

数值检验，这五条边是相等的：

参考图如下所示：

其实，最后我们发现，中间那个点就是五边形的重心，这一点可以推广到PDN定理的n元形式（由归纳法给出或者直接证明，但可能涉及无穷项的求和，不容易说清楚）

由此，我们可以得出一个很重要的递推关系：在一个n边形中，任意n-1个点构成的多边形的PDN中心（这个正n-1边形的中心）共有n个点，则这n个点的PDN中心与原n边形的PDN中心重合（也可以通过这个来证明PDN定理的正确性）
至于这个定理的完整证法（咱们只给出了构造和构造的3、4、5元形式证明），交给各位读者思考