S5R4 旋转全等的探究
旋转变换是中考压轴题常见的题型。最经典是正三角形的情况。给定正三角形内一点 P，其中 P 到三顶点的距离是 3,4,5 。想求正三角形的边长与 ∠BPC 。对于这道题的核心的解题攻略『条件分散时，利用旋转来集中条件。』
关键就在于背景这个正三角形，提供了一个共点的等边线段。这样就可以这个共顶点 B 为旋转中心，将 P 旋转 60 度角得到 Q、利用 SAS 得 △QAB 与 △PBC 全等 。再利用 △PBQ 是个等边三角形，所以 PQ 就等于 PB 。这样 3,4,5 三条边就在一起，也就保证 ∠AQP 是个直角。因此，∠APB = ∠PBC 就是 90+45 = 135 度。
对于这个问题，常见的探究方向就是，『非正三角形不可吗？』若是正方形、正六边形是否也可以利用这样的旋转对称而得到呢？
对于正方形时，PQ 是 PB 的根号2 倍、在正六边型时，PQ 是 PB 的根号3 倍。这样就把三条分散的条件，集中在一起。而在初中，题目给的三边长度，往往设计为直角三角形的三边。这样就可以求出角 PBC 的角度与正多边形的边长。
你将学会
1.用【滑动条】控制图形的动态旋转
2. 知道 PA=PB=a: b 的轨迹
3. 使用【输入框】来关联滑动条的数字
4. 动态数值文本的显示
除了这些基本技能，更重要的是问题拆解的思维。本题最有趣的部分有两点（1） 给定 a,b,c 三个参数如何决定 P 的位置；（2） 如何让 n 在变动时，图形不会变化太大。
1 旋转三角形
目的：熟悉 Geogebra 的旋转变换。我们要做出的效果是将正三角形内的一个三角形旋转 60 度，主要的指令是 【Rotate(物件, 旋转角, 旋转中心)】.
问：建三角形 ABC，要有哪些参数？
答：先设置参数 s = 1 来控制三角形的边长。接着用极坐标输入 A 点 (s;pi/3) ，前面表示边长 s ，后面为角度 pi/3 也就是 60°，中间以 ; 来做间隔，接着输入 B (0,0) 、C(s,0) ，再输入 【plABC = 多边形(A,B,C)】 这样就出现三角形 ABC 。此时调整 s 的大小，三角形也会变化。
s = Slider(1,5,0.1)
A = (s;pi/3)
B = (0,0)
C = (s,0)
plABC = 多边形(A,B,C)
问：如何在三角形内建一个点 ？
答：利用 【内点】 的指令，限制 P 点只能在三角形内移动，再利用 【线段】指令，连接 PB, PC
P = 内点(plABC)
sePB = 线段(P,B)
sePC = 线段(P,C)
问：如何得到旋转后的 Q 点？
答：利用 【旋转】指令， 第二个参数 pi/3 是旋转角，方向为逆时针。而第三个参数是为旋转中心 。完成后，再利用 【线段】 连接 QB, QA 。这时候，改变 P 点的位置，也可看到 Q 点的位置也随之改变。
Q = 旋转(P, pi/3, B)
seQB = 线段(Q,B)
seQA = 线段(Q,A)
2 在正 n 边形内的旋转三角形
问：如何将三角形改为多边形？
答：利用【多边形】指令，而在描绘 A ， Q 点时，要使用 pi- 2*pi/n 取得多边形的内角。
n = 滑动条(3,8,1)
A = (s; pi- 2*pi/n)
Q = 旋转(P, pi - 2*pi/n, B)
plABC = 多边形(A,B,n)
问：如何让 △PBC 渐渐转动？
答：利用【滑动条】 t，设定角度为 t*角度(A,B,C)
t = 滑动条(0,1,0.1)
tPBC = 旋转(多边形(P,B,C),t*角度(C,B,A), B)
3 找出PA 与 PB 比为固定的点
目的：求出 PA与PB之比为定值的轨迹.
问：如何探究 PA：PB = 2:1 的点所形成轨迹为何？
答：先建两个圆，圆心为 A, B ，半径为 k*a, k*b 。接着令 P,Q 为这两个圆的交点， 再将 P, Q 的轨迹显示出来，可观察到其轨迹为一个圆。
A = (0,0)
B = (1,0)
a=2b=1
k=0.5
cA = 圆周(A,k a)
cB = 圆周(B,k b)
P = 交点(cA,cB,1)
Q = 交点(cA,cB,2)
问：满足 PA：PB = 2:1 的点所成轨迹如何找？
答：利用在 AB 直线上的内外分点 IAB, OAB 。接着再利用这两点的中点当圆心，距离的一半为半径绘制圆，就可取得 sePA, sePB 这两个圆。
IAB = (b A + a B)/(b+a)
OAB = (b A - a B)/(b-a)
cAB = 圆周((IAB+OAB)/2, 线段(IAB,OAB)/2)
sePA = 线段(PA)
sePB = 线段(PB)
4 找出PA 与 PB 比为固定的点
目的：利用到三顶点的距离比来决定 P 点位置.
问：如何取得 PA:PB:PC = a:b:c 的 P 点？
答：建 PA:PB =a:b 的圆 cAB，再建 PB:PC = b:c 的圆 cBC。再取得两圆交点 P 。
a = 滑动条(1,5,0.01)
b = 滑动条(1,5,0.01)
c = 滑动条(1,5,0.01)
IAB = (b A + a B)/(b+a)
OAB = (b A - a B)/(b-a)
cAB = 圆周((IAB + OAB) / 2, 线段(IAB, OAB) / 2)
IBC = (c B + b C)/(c+b)
OBC = (c B - b C)/(c-b)
cBC = 圆周((IBC+OBC)/2, 线段(IBC,OBC)/2)
P = 交点(cAB, cBC)
sePA = 线段(P,A)
sePQ = 线段(P,Q)
aBPC = 角度(B,P,C)
5 在正 n 边形内的旋转三角形
目的：调整边长至合适大小，并调整画面的显示.
问：如何让正多边形的边数 n 在变化时，图形面积变化不要太大。
答：将图形限制在一个半径为 1 的外接圆内，也就是边长 s = 2*sin(pi/n)，此时图形变化才不会太大。
s = 2*sin( pi /n)
问：如何计算正确的边长？
答：利用比例线段
s1= a / 线段(A,P) *s
完成上述操作后就是设定文本框讯息并建立复习框来切换显示条件，同时
用【输入框】来关联滑动数值。
相关链接
【GGB】https://www.geogebra.org/m/dnhkrrrr
【Bili 】https://www.bilibili.com/video/BV1eb411i7qt?p=1
