5.3正方形（1）同步练习

A组

1．下列条件中，能判定四边形是正方形的有（    ）．

   A．4个角都是直角    B．对角线互相平分且垂直

   C．对角线相等且互相平分  D．对角线相等、互相垂直，且互相平分

2．下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（     ）．

   A．对角线互相垂直且相等的四边形; B．一条对角线平分一组对角的矩形

   C．对角线相等的菱形;             D．对角线互相垂直的矩形

3．矩形ABCD加上一个条件：_________，就可以得到正方形ABCD．

4．菱形ABCD加上一条条件：_________，就可以得到正方形ABCD．

5、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.

⑴试说明:DE=DF

⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明。

6、（2013•铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

B组

7、已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．

求证：四边形EFGH是正方形．

 

8、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.

(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.

(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.

 

参考答案

 

A组

1、D      2、A   

3、AB=BC或AC⊥BD

4、AC=BD或∠BAC=90°

5、证明：⑴连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点

　　∴AD为∠BAC的平分线.

　　∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

　　⑵∠BAC＝90°， DE⊥DF.

6、（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AEBD是矩形；

 

（2）当∠BAC=90°时，

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD=BD=CD，

∵由（1）得四边形AEBD是矩形，

∴矩形AEBD是正方形．

 

 

B组

7、解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，

推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．

又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形．

 

 

8、(1)连接AD.

∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,

∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,

又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,

∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,

∵∠BDP+∠ADP=90°,

∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,

∴△PDQ为等腰直角三角形.

(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:

由(1)知△ABD为等腰直角三角形,

当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,

又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,

∴四边形APDQ为矩形,

又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.