小波变换[2] -- 多分辨率框架

2021-12-23 13:27 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

在上一篇专栏里通过 Haar 小波做出了小波变换的最简例子, 可以认识到小波变换是使用可以调整的尺度函数与小波函数达到多分辨率的频率分析. 为了获取构造尺度函数与小波函数的通用方法, 这里提出了多分辨率框架.

多分辨率框架

多分辨率分析是基于嵌套函数空间定义的 [来源是带限频率空间, 由于其中推论实在太长了, 就不在这里叙述了]. 以下给出定义*:

记分布在实数上平方可积函数的集合为 L²(R), 即是 $L%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%3D%5Cleft%5C%7Bf%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D%3B%5C%3B%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%7Cf(x)%7C%5E2dx%3C%5Cinfty%5Cright%5C%7D$ , 对于所有整数 j, 存在以下关系的嵌套函数空间: $%5C%7B0%5C%7D%5Csubset%5Ccdots%5Csubset%20V_%7Bj-1%7D%5Csubset%20V_j%5Csubset%20V_%7Bj%2B1%7D%5Csubset%20%5Ccdots%5Csubset%20L%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)$ , 有以下条件: 1) 时间对称性: $v_j(x)%5Cin%20V_j%5Clongleftrightarrow%20v_j(x-2%5E%7B-j%7Dm)%5Cin%20V_j%3B%5C%3Bm%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$ ; 2) 尺度对称性: $v_j(x)%5Cin%20V_j%5Clongleftrightarrow%20v_j(2%5E%7B-j%7Dx)%5Cin%20V_0$ ; 3) 分辨率单调: 对于 k > l, 则有分辨率 2⁻ᵏ 高于分辨率 2⁻ˡ; 4) 完备性: $%5Cbigcup_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7DV_j%3DL%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%3B%5C%3B%5Cbigcap_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7DV_j%3D%5C%7B0%5C%7D$ ; 5) 基规律性: 存在有限个尺度函数, 并且尺度函数的整数位移张成了函数空间 V₀, 以单个尺度函数 Φ 为例, 即是 $%5Cleft%5C%7B%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Da_k%5CPhi(x-k)%3B%5C%3Ba_k%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%5Cright%5C%7D%3DV_0$ . 当满足上述条件时, 则称空间集合 $%5Cleft%5C%7BV_j%3B%5C%3Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright%5C%7D$ 为依赖尺度函数 Φ 的多分辨率分析, 这几个条件称为多分辨率框架.

实值函数的支撑集定义为所有让函数不为 0 的集合, 即 $%5Cmathrm%7Bsupp%7D(f)%3D%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%3B%5C%3Bf(x)%5Cneq0%5Cright%5C%7D$ . 当函数的支撑集同时有上下界, 则称这个函数是紧支撑的, 一般来说希望多分辨率分析里的尺度函数也是有界的.

以 Haar 尺度函数为例, 不难看出符合多分辨率分析的第 1, 2, 3 点. 当 Haar 小波变换里 j 趋向正无穷时, 可以使用 Haar 尺度函数捕获函数的所有细节; 当 j 等于负无穷时, 函数 Φ(2⁻ʲx) 的支撑集上界等于无穷, 为了保持函数平方可积, 只能取 0 值函数, 由此证得 Haar 尺度函数也符合第 4 点, 第 5 点即是 Haar 小波变换的定义. 也就说 Haar 小波变换符合多分辨率框架.

香农多分辨率分析是一个依赖频率空间的多分辨率分析, 它依赖于尺度函数 $%5Cmathrm%7Bsinc%7D(x)%3D%5Cfrac%7B%5Csin(%5Cpi%20x)%7D%7B%5Cpi%20x%7D$ , 函数在 x=0 处取极限值 1. sinc 函数有性质 $%5Cmathcal%7BF%7D%5B%5Cmathrm%7Bsinc%7D%5D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%3B%5C%3B%7C%5Comega%7C%5Cleq0.5%5C%5C0%3B%5C%3B%5Cmathrm%7Belse%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ , 其中 F 是傅里叶变换, 也就是说 sinc 是一个带限函数, 这是一个十分适合分析频率的函数, 尽管这个函数不是紧支撑的, 但是多分辨率框架赋予了其无与伦比的信号分析性质. 并且这个函数也符合多分辨率分析的条件, 证明过程略.

尺度关系式

因为归一尺度函数 Φ 是 V₀ 的基, 由函数空间的嵌套关系知道 Φ 也属于 V₁, 于是把 Φ 在 V₁ 进行展开得尺度关系式 $%5CPhi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dp_k%5CPhi(2x-k)$ , 其中系数 $p_k%3D%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%5CPhi(x)%5Coverline%7B%5CPhi(2x-k)%7Ddx$ , 由多分辨率框架的时间和尺度对称性可以得到 $%5CPhi(2%5Ejx-l)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dp_%7Bk-2l%7D%5CPhi(2%5E%7Bj%2B1%7Dx-k)$ , 不难可以证明: 当 Φ 是紧支撑的, 则只有有限个 pₖ 不为 0. 特殊地, Haar 小波变换是 p₀ = p₁ = 1 的例子, 其他系数均为 0.

如果 $%5Cint_%5Cmathbb%7BR%7D%5CPhi(x)dx%5Cneq0$ , 由基函数的标准正交性可以得到 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7B2k%7D%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7B2k%2B1%7D%3D1$ **, 也就是说尺度关系式的偶数系数的和于奇数系数的和都等于 1, 这对推导合适的尺度函数很有帮助 [见后续的专栏].

小波函数

当有尺度函数 Φ, 则相应的小波函数 ϕ 为 $%5Cphi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%7D%7D%5CPhi(2x-k)$ , 并且函数集 $%5Cleft%5C%7B%5Cphi(x-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5Cright%5C%7D$ 张成 V₀ 对于 V₁ 的正交补 W₀. 这是容易证得的***. 对于任意整数 j 都有 $V_j%3DV_%7Bj-1%7D%5Coplus%20W_%7Bj-1%7D$ , 由多分辨率的嵌套性和完备性可以得到: $L%5E2(%5Cmathbb%20R)%3D%5Cbigoplus_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%20Z%7DW_j$ .

分解和重构

为了更清楚地表示函数空间, 记张成函数: $%5Cmathrm%7Bspan%7D(S)%3D%5Cleft%5C%7B%5Csum_ka_ke_k%3B%5C%3Ba_k%5Cin%5Cmathbb%20C%2C%5C%2Ce_k%5Cin%20S%5Cright%5C%7D$ .

为了基函数的标准正交性, 定义函数空间 $V_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5CPhi_%7Bj%2Ck%7D%3D2%5E%7Bj%2F2%7D%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5Cright%5C%7D%5Cright)$ 和 $W_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5Cphi_%7Bj%2Ck%7D%3D2%5E%7Bj%2F2%7D%5Cphi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5Cright%5C%7D%5Cright)$ .

1) 信号近似: 设信号函数为 f, 则定义 j 级近似为 $f%5Capprox%20f_j%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi_%7Bj%2Ck%7D$ , 其中系数为 $a_k%5E%7B(j)%7D%3D%5Clangle%20f%2C%5CPhi_%7Bj%2Ck%7D%5Crangle$ .

2) 分解: 由 $V_%7Bj%7D%3DV_%7Bj-1%7D%5Coplus%20W_%7Bj-1%7D$ 把 f 的 j 级近似分解为 f 的 j-1 级近似和 f 的 j-1 级频率: $f_j%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_l%5E%7B(j-1)%7D%5CPhi_%7Bj-1%2Cl%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Db_l%5E%7B(j-1)%7D%5Cphi_%7Bj-1%2C%20l%7D$ , 其中系数由 $a_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Coverline%7Bp_%7Bk-2l%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ 和 $b_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ekp_%7B1-k-2l%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ 给出.

3) 自定义操作: 滤波或者信号压缩.

4) 重构: 即分解的逆操作, 由 $a_k%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7Da_l%5E%7B(j)%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2B2l%7D%7Db_l%5E%7B(j)%7D$ 给出.

使用函数空间 $V_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ 和 $W_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5Cphi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ 时

1) 近似: $f_j%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Ba_k%5E%7B(j)%7D%3D2%5Ej%5Clangle%20f%2C%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%5Crangle$ .

2) 分解: $f_j%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_l%5E%7B(j-1)%7D%5CPhi(2%5E%7Bj-1%7Dx-l)%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Db_l%5E%7B(j-1)%7D%5Cphi(2%5E%7Bj-1%7Dx-l)$ ; $a_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Coverline%7Bp_%7Bk-2l%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ , $b_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ekp_%7B1-k%2B2l%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ .

4) 重构: $a_k%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7Da_l%5E%7B(j)%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2B2l%7D%7Db_l%5E%7B(j)%7D$ .

当不考虑归一化因子时, 重构上的 1/√2 可以合并至分解上, 从而略去了计算 1/√2 的成本, 近似步骤也是如此. 所以尽管下面的函数空间不是归一化的, 但是会更加通用.

信号近似

信号 f 的 j 级近似为 $f_j%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi(2%5Ejx-k)$ , 其中 $a_k%5E%7B(j)%7D%3D2%5E%7Bj%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x)%5Coverline%7B%5CPhi(2%5Ejx-k)%7Ddx$ . 当 Φ 是紧支撑的, 让 $%5Cmathrm%7Bsupp%7D(%5CPhi(x))%5Csubseteq%20%5B-M%2CM%5D$ , 那么上式变为 $2%5E%7Bj%7D%5Cint_%7B2%5E%7B-j%7D(k-M)%7D%5E%7B2%5E%7B-j%7D(k%2BM)%7Df(x)%5Coverline%7B%5CPhi(2%5Ejx-k)%7Ddx$ , 使用 2⁻ʲ(x+k) 替换 x 得到 $%5Cint_%7B-M%7D%5EMf(2%5E%7B-j%7D(x%2Bk))%5Coverline%7B%5CPhi(x)%7Ddx$ . 当 j 很大时, 对于信号 f 可以在 2⁻ʲk 附近看作一阶近似, 于是得到 $a_k%5E%7B(j)%7D%5Capprox%20f(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cint_%7B-M%7D%5EM%5Coverline%7B%5CPhi(x)%7Ddx%3Df(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cint_%7B%5Cmathbb%20R%7D%5Coverline%7B%5CPhi(x)%7Ddx$ . 可以看到在实际运用时, 确保 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)dx%5Cneq0$ 是很有必要的, 当有 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)dx%3Dm$ 时, f 的 j 级近似可以由 $f_j%5Capprox%20%5Coverline%20m%5Csum_%7Bk%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%7Df(2%5E%7B-j%7Dk)%5CPhi(2%5Ejx-k)$ 给出.

分解和重构的卷积形式

两个离散数列 x = (..., x₀, x₁, ...) 和 y = (..., y₀, y₁, ...) 之间的卷积为 $(x%5Cast%20y)_l%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dx_ky_%7Bl-k%7D$ . 又定义离散数列的下采样算符与上采样算符: $(Dx)_l%3Dx_%7B2l%7D$ , $(Ux)_l%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_%7Bl%2F2%7D%3B%5C%3Bl%5Cmathrm%7B%5C%3Bis%5C%3Beven%7D%5C%5C0%3B%5C%3Bl%5Cmathrm%7B%5C%3Bis%5C%3Bodd%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ , 其中下采样是通过舍弃数列奇数部分得到, 上采样是在两个数值间插入 0 得到.

于是 $a_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Coverline%7Bp_%7Bk-2l%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ , 使用 l/2 取代 l, 然后使用 l-k 取代 k 得到 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverline%7Bp_%7B-k%7D%7Da_%7Bl-k%7D%5E%7B(j)%7D$ , 于是记 $A_k%3D0.5%5Coverline%7Bp_%7B-k%7D%7D$ , 那么则有 $a%5E%7B(j-1)%7D%3DD(A%5Cast%20a%5E%7B(j)%7D)$ , 类似地, 记 $B_k%3D0.5(-1)%5Ekp_%7Bk%2B1%7D$ , 则有 $b%5E%7B(j-1)%7D%3DD(B%5Cast%20a%5E%7B(j)%7D)$ , 即得到分解的卷积形式.

重构的系数推导为 $a_k%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7Da_l%5E%7B(j)%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5E%7Bk-2l%7D%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2B2l%7D%7Db_l%5E%7B(j)%7D$ [注意 -1 的指数做了一点手脚], 在累加式任意两项之间插入 +0 得 $%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-l%7D(Ua%5E%7B(j)%7D)_l%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5E%7Bk-l%7D%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2Bl%7D%7D(Ub%5E%7B(j)%7D)_l$ , 使用 k-l 取代 l 得 $%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_l(Ua%5E%7B(j)%7D)_%7Bk-l%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5El%5Coverline%7Bp_%7B1-l%7D%7D(Ub%5E%7B(j)%7D)_%7Bk-l%7D$ . 于是记 $%5Ctilde%7BA%7D_l%3Dp_l$ 和 $%5Ctilde%7BB%7D_l%3D(-1)%5El%5Coverline%7Bp_%7B1-l%7D%7D$ , 那么重构的卷积形式为 $a%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Ctilde%7BA%7D%5Cast(Ua%5E%7B(j)%7D)%2B%5Ctilde%7BB%7D%5Cast(Ub%5E%7B(j)%7D)$ .

*: 此处定义是结合[英文 wiki](https://en.wikipedia.org/wiki/Multiresolution_analysis) 推导的, 与中文 wiki 和自己拥有的教材上的定义有出入, 这是因为中文资料都有条件 $%5Coverline%7B%5Cbigcup_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7DV_j%7D%3DL%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)$ , 这与条件 $V_j%5Csubset%20L%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)$ 冲突, 所以确定使用英文 wiki 的起码没有错误的定义.

**: 因为阿 b 的专栏实在不适合做长数学算式, 所以这里直接贴图片了. 需要注意的是, 如果尺度函数在实数域上的积分等于 0, 就会导致下面第 2 步不成立, 从而不能得到最后的结论.

***: 下面给出小波函数的证明, 因为会使用到上面 ** 的过程, 所以相应的地方会标蓝.

下一篇就是介绍如何从傅里叶变换和尺度关系式构造尺度函数了

日常推涩图群: [274767696]

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